Esboce o gráfico da função , onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função . O é uma função que muda dependendo do valor de . Esse exercício envolve integração e funções por partes. A gente vai precisar dividir o problema em casos conforme o valor de para calcular essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o . A função é definida de duas maneiras:
Isso significa que para valores de menores que -1 ou maiores que 1, é , e para entre -1 e 1, é 1.

Passo 3

Agora, vamos dividir o eixo dos em três partes principais: , , e . Isso porque o comportamento de muda nesses intervalos, e a integral vai ser diferente para cada caso.

Passo 4

Caso 1:
Aqui, todo o intervalo de integração de até está na região onde . Então, a integral fica:
Sabemos que . Calculando:

Passo 5

Caso 2:
Aqui, a integral vai cortar duas regiões: de até -1, onde , e de -1 até , onde . Então:
Já sabemos que .
E .
Então,

Passo 6

Caso 3:
Agora, a integral abrange três regiões: de até -1, onde , de -1 até 1, onde , e de 1 até , onde . Então:
Já calculamos as duas primeiras partes:
E para a última parte:
Então,

Resposta

A função é dada por:
Esse é o esboço do gráfico da função .

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Use a definição de limite para provar que: , onde ;
Seja uma função contínua ao longo do intervalo 0 para todo . Considere o conjunto
construa a noção de volume do sólido obtido por revolução do conjunto em torno do eixo .
Use a definição de limite para provar que: , onde .
Explicitando as propriedades do limite de uma função, calcule os limites que seguem. .