Esboce o gráfico da função g(x)=integral-infty^x f(t) d t, onde
f(t)=cll 1t^2 & se & |t| >= 1 1 & se & |t|<1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função . O é uma função que muda dependendo do valor de . Esse exercício envolve integração e funções por partes. A gente vai precisar dividir o problema em casos conforme o valor de para calcular essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o f(t) = 1t^2 & se |t| >= 1 1 & se |t| < 1 . A função é definida de duas maneiras:
Isso significa que para valores de menores que -1 ou maiores que 1, é , e para entre -1 e 1, é 1.

Passo 3

Agora, vamos dividir o eixo dos em três partes principais: , , e . Isso porque o comportamento de muda nesses intervalos, e a integral vai ser diferente para cada caso.

Passo 4

Caso 1: g(x) = integral-infty^x 1t^2 , dt
Aqui, todo o intervalo de integração de g(x) = [ -1t ]-infty^x = -1x - 0 = -1x até está na região onde . Então, a integral fica:
Sabemos que . Calculando:

Passo 5

Caso 2: g(x) = integral-infty^-1 1t^2 , dt + integral-1^x 1 , dt
Aqui, a integral vai cortar duas regiões: de g(x) = 1 + (x + 1) = x + 2 até -1, onde , e de -1 até , onde . Então:
Já sabemos que .
E .
Então,

Passo 6

Caso 3: g(x) = integral-infty^-1 1t^2 , dt + integral-1^1 1 , dt + integral1^x 1t^2 , dt
Agora, a integral abrange três regiões: de integral-infty^-1 1t^2 , dt = 1 até -1, onde integral-1^1 1 , dt = 1 - (-1) = 2 , de -1 até 1, onde integral1^x 1t^2 , dt = [ -1t ]1^x = -1x + 1 , e de 1 até g(x) = 1 + 2 + ( -1x + 1 ) = 4 - 1x , onde . Então:
Já calculamos as duas primeiras partes:
E para a última parte:
Então,

Resposta

A função g(x) = -1x & se x < -1 x + 2 & se -1 <= x < 1 4 - 1x & se x >= 1 é dada por:
Esse é o esboço do gráfico da função .

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