Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função . O é uma função que muda dependendo do valor de . Esse exercício envolve integração e funções por partes. A gente vai precisar dividir o problema em casos conforme o valor de para calcular essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o . A função é definida de duas maneiras:
Isso significa que para valores de menores que -1 ou maiores que 1, é , e para entre -1 e 1, é 1.
Passo 3
Agora, vamos dividir o eixo dos em três partes principais: , , e . Isso porque o comportamento de muda nesses intervalos, e a integral vai ser diferente para cada caso.
Passo 4
Caso 1:
Aqui, todo o intervalo de integração de até está na região onde . Então, a integral fica:
Sabemos que . Calculando:
Passo 5
Caso 2:
Aqui, a integral vai cortar duas regiões: de até -1, onde , e de -1 até , onde . Então:
Já sabemos que .
E .
Então,
Passo 6
Caso 3:
Agora, a integral abrange três regiões: de até -1, onde , de -1 até 1, onde , e de 1 até , onde . Então: