Explicitando as propriedades do limite de uma função, calcule os limites que seguem. lim x pi / 2(2 sin x-cos x+coth x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Isso faz parte do conteúdo de limites de funções. Para resolver, vamos usar as propriedades dos limites, que nos ajudam a simplificar expressões complicadas em passos mais fáceis de entender.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o limite da soma de funções é igual à soma dos limites dessas funções, desde que eles existam. Ou seja:
limx to a [f(x) + g(x) + h(x)] = limx to a f(x) + limx to a g(x) + limx to a h(x)
Então, vamos separar nossa expressão em três partes: , e .

Passo 3

Vamos calcular cada limite individualmente.
  1. Para limx to pi2 2 sin x = 2 cdot sin(pi2) :
2 cdot 1 = 2
Sabemos que limx to pi2 -cos x = -cos(pi2) , então:
-0 = 0
  1. Para limx to pi2 coth x = coth(pi2) :
coth(pi2) approx cosh(pi2)sinh(pi2) approx 1.313
E , então:
  1. Para :
    Primeiro, lembramos que . No entanto, para valores reais positivos de , está bem definida e contínua. Então:
Podemos calcular numericamente:

Resposta

Então, somando todos os limites:
2 + 0 + 1.313 approx 3.313
Logo, o limite quando se aproxima de é aproximadamente 3.313.

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