Use a definição de limite para provar que:
, onde
;
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um exercício onde a gente precisa usar a definição de limite para provar que
, com
. A matéria aqui é sobre limites em funções, e vamos precisar entender como usar a definição de limite, que envolve trabalhar com
(épsilon) e
(delta).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que
. Isso quer dizer que para qualquer número pequeno
, a gente consegue encontrar um número
tal que se
, então
. Simplificando, se a gente chega perto o suficiente de
(dentro de
), os valores de
ficam bem perto de
(dentro de
).
Passo 3
No nosso caso,
e
. Então, queremos provar que para qualquer
, existe um
tal que se
, então
. Vamos começar substituindo
:
Passo 4
Queremos que
. Para isso, basta garantir que
. Ou seja, podemos escolher
. Assim, se
, então:
Passo 5
Então, nossa escolha de
funciona perfeitamente para qualquer
. Isso mostra que sempre conseguimos encontrar um
que faz
quando
está perto de 3.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, provamos que
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função contínua ao longo do intervalo
0 para todo
. Considere o conjunto
construa a noção de volume do sólido obtido por revolução do conjunto
em torno do eixo
.
Explicitando as propriedades do limite de uma função, calcule os limites que seguem.
;
Esboce o gráfico da função
, onde
Use a definição de limite para provar que:
, onde
.