Use a definição de limite para provar que: , onde ;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício onde a gente precisa usar a definição de limite para provar que , com . A matéria aqui é sobre limites em funções, e vamos precisar entender como usar a definição de limite, que envolve trabalhar com (épsilon) e (delta).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que . Isso quer dizer que para qualquer número pequeno , a gente consegue encontrar um número tal que se , então . Simplificando, se a gente chega perto o suficiente de (dentro de ), os valores de ficam bem perto de (dentro de ).

Passo 3

No nosso caso, e . Então, queremos provar que para qualquer , existe um tal que se , então . Vamos começar substituindo :

Passo 4

Queremos que . Para isso, basta garantir que . Ou seja, podemos escolher . Assim, se , então:

Passo 5

Então, nossa escolha de funciona perfeitamente para qualquer . Isso mostra que sempre conseguimos encontrar um que faz quando está perto de 3.

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, provamos que .

Exercícios relacionados

Seja uma função contínua ao longo do intervalo 0 para todo . Considere o conjunto
construa a noção de volume do sólido obtido por revolução do conjunto em torno do eixo .
Explicitando as propriedades do limite de uma função, calcule os limites que seguem. ;
Esboce o gráfico da função , onde
Use a definição de limite para provar que: , onde .