Use a definição de limite para provar que: lim x 3 f(x)=5, onde f(x)=4 x-7;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício onde a gente precisa usar a definição de limite para provar que lim x 3 f(x)=5, com f(x)=4x-7. A matéria aqui é sobre limites em funções, e vamos precisar entender como usar a definição de limite, que envolve trabalhar com varepsilon (épsilon) e de (delta).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que limx to a f(x) = L. Isso quer dizer que para qualquer número pequeno varepsilon > 0, a gente consegue encontrar um número de 0 tal que se 0 < |x - a| < de, então |f(x) - L| < varepsilon. Simplificando, se a gente chega perto o suficiente de a (dentro de de), os valores de f(x) ficam bem perto de L (dentro de varepsilon).

Passo 3

No nosso caso, a = 3 e L = 5. Então, queremos provar que para qualquer varepsilon > 0, existe um de 0 tal que se 0 < |x - 3| < de, então |f(x) - 5| < varepsilon. Vamos começar substituindo f(x):
|f(x) - 5| = |4x - 7 - 5| = |4x - 12| = 4|x - 3|

Passo 4

Queremos que 4|x - 3| < varepsilon. Para isso, basta garantir que |x - 3| < varepsilon4. Ou seja, podemos escolher de. Assim, se 0 < |x - 3| < de, então:
|f(x) - 5| = 4|x - 3| < 4 times varepsilon4 = varepsilon

Passo 5

Então, nossa escolha de de funciona perfeitamente para qualquer varepsilon > 0. Isso mostra que sempre conseguimos encontrar um de que faz |f(x) - 5| < varepsilon quando x está perto de 3.

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, provamos que limx 3 f(x) = 5.

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