Use a definição de limite para provar que: lim x 4 f(x)=16, onde f(x)=x^2.

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa provar que o limite de quando se aproxima de 4 é 16. Isso significa que, à medida que chega cada vez mais perto de 4, chega cada vez mais perto de 16. Para isso, vamos usar a definição de limite, que nos ajuda a formalizar essa ideia.

Passo 2

A definição de limite diz o seguinte: significa que, para todo , existe um tal que, se , então . Aqui, e .

Passo 3

Primeiro, vamos expressar |f(x) - 16| = |x^2 - 16| com os valores que temos:
|x^2 - 16| = |(x - 4)(x + 4)| = |x - 4| cdot |x + 4|
Podemos fatorar isso:

Passo 4

Queremos que |x - 4| cdot |x + 4| < varepsilon , então precisamos que:
3 < x < 5 implies 7 < x + 4 < 9 implies |x + 4| < 9
Para simplificar, vamos limitar para controlar . Vamos supor que , isso implica que está entre 3 e 5:

Passo 5

Agora, voltando à desigualdade:
|x - 4| cdot |x + 4| < varepsilon <= |x - 4| cdot 9
Para garantir que , basta escolher .

Passo 6

Então, definimos de como o mínimo entre 1 e |f(x) - 16| = |x^2 - 16| < varepsilon :
Assim, sempre que , teremos:

Resposta

Provaram que .

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