Esboce o grafico da função no intervalo dado. Depois intgre a função no intervalo dado e determine a área da região entre o grafico e o eixo :
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa desenhar o gráfico dela no intervalo de até . Depois, a gente vai integrar essa função nesse intervalo pra achar a área entre o gráfico e o eixo . Para isso, vamos precisar entender como desenhar gráficos de funções quadráticas e saber como fazer integrais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função . Essa é uma função do segundo grau, ou seja, uma parábola. O coeficiente de é negativo, o que significa que a parábola abre para baixo.
Para esboçar o gráfico, a gente pode encontrar alguns pontos importantes:
  • Interseção com o eixo y: Quando , . Então, a parábola passa pela origem.
  • Interseção com o eixo x: Para encontrar onde a parábola cruza o eixo , resolvemos . Fatorando, ficamos com , então ou .
  • Vértice da parábola: O vértice está no ponto onde a derivada da função é zero. A derivada de em relação a é . Igualando a zero: resulta em . Substituindo na função, . Então, o vértice é .
Com esses pontos, dá pra desenhar uma parábola que abre para baixo, passando por , e com vértice em .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área entre o gráfico da função e o eixo no intervalo de a . Para isso, usamos a integral definida da função nesse intervalo.
A integral de de a é:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 4

Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar na integral definida.

Passo 5

Agora, avaliamos a integral de a :
Calculando cada parte:
Substituindo:

Passo 6

Oops! O resultado zero indica que a área acima do eixo é igual à área abaixo no intervalo considerado. Para encontrar a área total, vamos calcular as áreas separadamente onde a função está acima e abaixo do eixo .
Primeiro, sabemos que a função cruza o eixo em e . Então, dividimos o intervalo em dois: de a e de a .
Vamos calcular as integrais separadamente:

Passo 7

Calculando :
Calculando :
A área é negativa porque a função está abaixo do eixo nesse intervalo.

Passo 8

A área total é a soma das áreas absolutas:

Resposta

A área da região entre o gráfico da função e o eixo no intervalo de a é unidades quadradas.

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;
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.
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;