Esboce o grafico da função no intervalo dado. Depois intgre a função no intervalo dado e determine a área da região entre o grafico e o eixo
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa desenhar o gráfico dela no intervalo de
até
. Depois, a gente vai integrar essa função nesse intervalo pra achar a área entre o gráfico e o eixo
. Para isso, vamos precisar entender como desenhar gráficos de funções quadráticas e saber como fazer integrais básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função
. Essa é uma função do segundo grau, ou seja, uma parábola. O coeficiente de
é negativo, o que significa que a parábola abre para baixo.
Para esboçar o gráfico, a gente pode encontrar alguns pontos importantes:
- Interseção com o eixo y: Quando
, . Então, a parábola passa pela origem. - Interseção com o eixo x: Para encontrar onde a parábola cruza o eixo
, resolvemos . Fatorando, ficamos com , então ou . - Vértice da parábola: O vértice está no ponto onde a derivada da função é zero. A derivada de
em relação a é . Igualando a zero: resulta em . Substituindo na função, . Então, o vértice é .
Com esses pontos, dá pra desenhar uma parábola que abre para baixo, passando por
,
e com vértice em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área entre o gráfico da função e o eixo
no intervalo de
a
. Para isso, usamos a integral definida da função nesse intervalo.
A integral de
de
a
é:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 4
Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar na integral definida.
Passo 5
Agora, avaliamos a integral de
a
:
Calculando cada parte:
Substituindo:
Passo 6
Oops! O resultado zero indica que a área acima do eixo
é igual à área abaixo no intervalo considerado. Para encontrar a área total, vamos calcular as áreas separadamente onde a função está acima e abaixo do eixo
.
Primeiro, sabemos que a função cruza o eixo
em
e
. Então, dividimos o intervalo em dois: de
a
e de
a
.
Vamos calcular as integrais separadamente:
Passo 7
Calculando
:
Calculando
:
A área
é negativa porque a função está abaixo do eixo
nesse intervalo.
Passo 8
A área total é a soma das áreas absolutas:
Resposta
A área da região entre o gráfico da função
e o eixo
no intervalo de
a
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Calcule
Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
;
Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
.
Resolva a integral usando o metodo adequado:
;