Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
integral 3x^2+x-2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 3x^2+x-2 , dx usando frações parciais. O que vamos precisar aqui é fatorar o denominador, decompor a fração em partes mais simples e, depois, integrar cada uma dessas partes. Então, vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: x^2 + x - 2. Precisamos fatorar esse polinômio para facilitar a decomposição em frações parciais. Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão +1.
Esses números são +2 e -1, porque:
  • 2 times (-1) = -2
  • 2 + (-1) = 1
Então, podemos fatorar o denominador assim:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes 3(x + 2)(x - 1) = Ax + 2 + Bx - 1 e 3 = A(x - 1) + B(x + 2) tais que:
Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 4

Vamos resolver para 3 = A(1 - 1) + B(1 + 2) 3 = 0 + 3B B = 1 e 3 = A(-2 - 1) + B(-2 + 2) 3 = -3A + 0 A = -1 . Uma maneira fácil é escolher valores de que simplificam a equa��ão.
Para :
Para :
Então, encontramos que e .

Passo 5

Agora, substituímos os valores de 3(x + 2)(x - 1) = -1x + 2 + 1x - 1 e integral 3x^2 + x - 2 , dx = integral ( -1x + 2 + 1x - 1 ) dx = -integral 1x + 2 , dx + integral 1x - 1 , dx = -ln|x + 2| + ln|x - 1| + C de volta na expressão das frações parciais:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução da integral é
- ln|x + 2| + ln|x - 1| + C

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