Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando frações parciais. O que vamos precisar aqui é fatorar o denominador, decompor a fração em partes mais simples e, depois, integrar cada uma dessas partes. Então, vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração:
. Precisamos fatorar esse polinômio para facilitar a decomposição em frações parciais. Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão +1.
Esses números são +2 e -1, porque:
Então, podemos fatorar o denominador assim:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Passo 4
Vamos resolver para
e
. Uma maneira fácil é escolher valores de
que simplificam a equa��ão.
Para
:
Para
:
Então, encontramos que
e
.
Passo 5
Agora, substituímos os valores de
e
de volta na expressão das frações parciais:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução da integral é
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Uma particula se move em uma reta e tem aceleração dada por
. Sua velocidade inicial é
e seu deslocamento inicial é
. Encontre sua função posição
.
Calcule
:
Sejam
e
. Calcule
Esboce o grafico da função no intervalo dado. Depois intgre a função no intervalo dado e determine a área da região entre o grafico e o eixo
:
.