Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando frações parciais. O que vamos precisar aqui é fatorar o denominador, decompor a fração em partes mais simples e, depois, integrar cada uma dessas partes. Então, vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: . Precisamos fatorar esse polinômio para facilitar a decomposição em frações parciais. Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão +1.
Esses números são +2 e -1, porque:
Então, podemos fatorar o denominador assim:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 4

Vamos resolver para e . Uma maneira fácil é escolher valores de que simplificam a equa��ão.
Para :
Para :
Então, encontramos que e .

Passo 5

Agora, substituímos os valores de e de volta na expressão das frações parciais:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução da integral é

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Uma particula se move em uma reta e tem aceleração dada por . Sua velocidade inicial é e seu deslocamento inicial é . Encontre sua função posição .
Calcule :
Sejam e . Calcule
Esboce o grafico da função no intervalo dado. Depois intgre a função no intervalo dado e determine a área da região entre o grafico e o eixo :
.