Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral aparece quando temos expressões envolvendo
, e a gente pode simplificar usando identidades trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituição trigonométrica e identidades como
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifica a raiz quadrada
. Podemos usar a substituição
. Isso porque
, o que vai facilitar a expressão dentro da raiz.
Passo 3
Com
, calculamos a derivada de
em relação a
:
Agora, vamos substituir
e
na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Simplificando os termos:
Os termos
e
se cancelam, ficando:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Lembrando da identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Integrando:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos
, então:
E também, usando
, e sabendo que
, podemos substituir tudo de volta.
Passo 7
Substituindo na expressão final:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Esboce o grafico da função no intervalo dado. Depois intgre a função no intervalo dado e determine a área da região entre o grafico e o eixo
:
.
Sejam
e
. Calcule
Resolva a integral usando o metodo adequado:
;
Determine a primitiva para cada função. Verifique suas respostas derivando.
;