Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
integral d xx^3 raizx^2-25.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral aparece quando temos expressões envolvendo , e a gente pode simplificar usando identidades trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituição trigonométrica e identidades como .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifica a raiz quadrada . Podemos usar a substituição . Isso porque , o que vai facilitar a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Com dx = 5 sectheta tantheta , dtheta , calculamos a derivada de em relação a :
Agora, vamos substituir e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral 5 sectheta tantheta , dtheta(5 sectheta)^3 raiz(5 sectheta)^2 - 25
Simplificando os termos:
= integral 5 sectheta tantheta , dtheta125 sec^3theta raiz25 sec^2theta - 25
= integral 5 sectheta tantheta , dtheta125 sec^3theta cdot 5 tantheta
= integral 5 sectheta tantheta625 sec^3theta tantheta , dtheta
Os termos = 1125 integral cos^2theta , dtheta e se cancelam, ficando:

Passo 5

Agora, precisamos integrar cos^2theta = 1 + cos(2theta)2 . Lembrando da identidade trigonométrica:
1125 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 1250 integral (1 + cos(2theta)) , dtheta
Então, a integral fica:
1250 ( theta + sin(2theta)2 ) + C
Integrando:
= theta250 + sin(2theta)500 + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original sectheta = x5 implies theta = sec^-1(x5) . Lembrando que fizemos , então:
E também, usando , e sabendo que , podemos substituir tudo de volta.

Passo 7

Substituindo na expressão final:
sec^-1(x5)250 + 2 cdot raizx^2 - 25x cdot x5500 + C
Simplificando:
= sec^-1(x5)250 + raizx^2 - 251250 + C

Resposta

A integral sec^-1(x5)250 + raizx^2 - 251250 + C é igual a:

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