Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral aparece quando temos expressões envolvendo , e a gente pode simplificar usando identidades trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituição trigonométrica e identidades como .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifica a raiz quadrada . Podemos usar a substituição . Isso porque , o que vai facilitar a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Com , calculamos a derivada de em relação a :
Agora, vamos substituir e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Simplificando os termos:
Os termos e se cancelam, ficando:

Passo 5

Agora, precisamos integrar . Lembrando da identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Integrando:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos , então:
E também, usando , e sabendo que , podemos substituir tudo de volta.

Passo 7

Substituindo na expressão final:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Esboce o grafico da função no intervalo dado. Depois intgre a função no intervalo dado e determine a área da região entre o grafico e o eixo :
.
Sejam e . Calcule
Resolva a integral usando o metodo adequado:
;
Determine a primitiva para cada função. Verifique suas respostas derivando.
;