Esboce um gráfico para a função real
, definida por
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. O problema pede para a gente esboçar o gráfico da função real
. Isso está relacionado ao estudo de funções, mais especificamente à análise do comportamento de uma função racional. Para resolver isso, vamos precisar identificar o domínio da função, encontrar suas assíntotas, pontos de interseção e entender como a função se comporta em diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, percebemos que o denominador
não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida. Então, vamos resolver:
Então, o domínio da função é todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntotas Verticais: São linhas onde a função tende ao infinito. Elas ocorrem onde o denominador se anula, então temos assíntotas verticais em
e
.
Assíntota Horizontal: Para encontrar a assíntota horizontal, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Simplificando
:
Quando
tende ao infinito,
se aproxima de 1. Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de interseção da função com os eixos.
Interseção com o Eixo Y: É quando
.
Portanto, a função intercepta o eixo Y no ponto
.
Interseção com o Eixo X: Também é quando
.
Então, a única interseção com o eixo X é no ponto
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos determinados pelas assíntotas verticais:
- Para
: Vamos escolher .
-
Para
: Vamos escolher (já sabemos que ). -
Para
: Vamos escolher .
Observamos que, nos intervalos fora de
, a função tende a
e se aproxima da assíntota horizontal
quando
tende ao infinito.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- Assíntotas Verticais em
e . - Assíntota Horizontal em
. - Ponto de Interseção no origem
. - Comportamento:
- Para
, a função está acima da assíntota horizontal. - Entre
e , a função desce até a origem. - Para
, a função está novamente acima da assíntota horizontal.
- Para
Resposta
O gráfico da função
possui assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, intercepta o eixo Y na origem
e apresenta comportamentos simétricos nos intervalos definidos. A função desce até a origem entre as assíntotas verticais e se aproxima da assíntota horizontal fora desses intervalos.
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