Esboce um gráfico para a função real , definida por

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. O problema pede para a gente esboçar o gráfico da função real . Isso está relacionado ao estudo de funções, mais especificamente à análise do comportamento de uma função racional. Para resolver isso, vamos precisar identificar o domínio da função, encontrar suas assíntotas, pontos de interseção e entender como a função se comporta em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , percebemos que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida. Então, vamos resolver:
Então, o domínio da função é todos os números reais exceto e .

Passo 3

Agora, vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntotas Verticais: São linhas onde a função tende ao infinito. Elas ocorrem onde o denominador se anula, então temos assíntotas verticais em e .
Assíntota Horizontal: Para encontrar a assíntota horizontal, analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito. Simplificando :
Quando tende ao infinito, se aproxima de 1. Então, a assíntota horizontal é .

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção da função com os eixos.
Interseção com o Eixo Y: É quando .
Portanto, a função intercepta o eixo Y no ponto .
Interseção com o Eixo X: Também é quando .
Então, a única interseção com o eixo X é no ponto .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos determinados pelas assíntotas verticais:
  1. Para : Vamos escolher .
  1. Para : Vamos escolher (já sabemos que ).
  2. Para : Vamos escolher .
Observamos que, nos intervalos fora de , a função tende a e se aproxima da assíntota horizontal quando tende ao infinito.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • Assíntotas Verticais em e .
  • Assíntota Horizontal em .
  • Ponto de Interseção no origem .
  • Comportamento:
    • Para , a função está acima da assíntota horizontal.
    • Entre e , a função desce até a origem.
    • Para , a função está novamente acima da assíntota horizontal.

Resposta

O gráfico da função possui assíntotas verticais em e , uma assíntota horizontal em , intercepta o eixo Y na origem e apresenta comportamentos simétricos nos intervalos definidos. A função desce até a origem entre as assíntotas verticais e se aproxima da assíntota horizontal fora desses intervalos.

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