Esboce o gráfico da função y = y(x), x pertence a R, sabendo que d y/d x = 1/(1+x^(2)) e y(0) = 0.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos esboçar o gráfico da função para todos os números reais , sabendo que a derivada de em relação a é e que .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, para encontrar a função .

Passo 2

A derivada nos mostra a inclinação da curva em cada ponto . Para encontrar a função , precisamos integrar essa derivada em relação a .
A integral de é uma função cuja derivada é . Sabemos que:
Aqui, é a função arco-tangente e é a constante de integração.

Passo 3

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo na expressão de :
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, a função é:
Para esboçar o gráfico de :
  • A curva passa pela origem .
  • É uma função crescente para todos os valores de .
  • Quando tende a , se aproxima de .
  • Quando tende a , se aproxima de .
O gráfico tem a forma de uma curva suavemente crescente que se aproxima dessas assíntotas horizontais conforme aumenta ou diminui sem limites.

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