Esboce o gráfico da função
, sabendo que
e
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos esboçar o gráfico da função
para todos os números reais
, sabendo que a derivada de
em relação a
é
e que
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, para encontrar a função
.
Passo 2
A derivada
nos mostra a inclinação da curva
em cada ponto
. Para encontrar a função
, precisamos integrar essa derivada em relação a
.
A integral de
é uma função cuja derivada é
. Sabemos que:
Aqui,
é a função arco-tangente e
é a constante de integração.
Passo 3
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
na expressão de
:
Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto, a função
é:
Para esboçar o gráfico de
:
- A curva passa pela origem
. - É uma função crescente para todos os valores de
. - Quando
tende a , se aproxima de . - Quando
tende a , se aproxima de .
O gráfico tem a forma de uma curva suavemente crescente que se aproxima dessas assíntotas horizontais conforme
aumenta ou diminui sem limites.
Exercícios relacionados
Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com função de posição
. Determine
, sabendo que
e
Calcule e verifique sua resposta por derivação.
Usando uma mudança de variáveis apropriada, calcule a integral,
onde
é o paralelogramo limitado pelas retas
e
.
Verifique a aproximação linear em
.