Esboce o gráfico de uma função
que satisfaça todas as condições dadas:
se
ou
se
ou
se
se
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar o gráfico de uma função
que atende a várias condições sobre suas derivadas primeira e segunda. Isso envolve conceitos de cálculo, como derivadas e suas interpretações no gráfico da função. Vamos precisar entender o que cada condição significa para o formato do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as condições envolvendo a derivada primeira,
:
-
: Isso indica que nos pontos , e a inclinação da função é zero, ou seja, são pontos onde a função pode ter um máximo, mínimo ou um ponto de inflexão. -
para ou : Isso significa que a função está subindo nessas regiões. -
para ou : Aqui, a função está descendo nessas áreas.
Passo 3
Agora, vamos ver as condições da derivada segunda,
:
-
para : Isso indica que a função está côncava para cima nesse intervalo, ou seja, o gráfico tem uma “forma de sorriso”. -
para ou : Aqui, a função está côncava para baixo, com o gráfico parecendo uma “forma de careta”.
Passo 4
Vamos identificar os pontos críticos onde
:
-
Em
, e . Nesses pontos, a função pode ter: -
Máximos ou mínimos locais: Dependendo do comportamento das derivadas ao redor desses pontos.
-
Pontos de inflexão: Se a concavidade muda, mas não há máximo ou mínimo.
-
Passo 5
Vamos analisar cada ponto crítico:
-
: -
Antes de 0 (
): (subindo). -
Depois de 0 (
): (descendo). -
Isso sugere que
é um máximo local. -
Para a concavidade:
-
: (côncava para baixo). -
: (côncava para cima). -
Portanto, há uma mudança de concavidade em
, possivelmente um ponto de inflexão.
-
-
-
: -
Antes de 2 (
): (descendo). -
Depois de 2 (
): (subindo). -
Isso indica que
é um mínimo local. -
Para a concavidade:
-
: (côncava para cima). -
: (côncava para baixo). -
Mudança de concavidade em
, outro possível ponto de inflexão.
-
-
-
: -
Antes de 4 (
): (subindo). -
Depois de 4 (
): (descendo). -
Isso sugere que
é um máximo local. -
Para a concavidade:
-
: (côncava para baixo).
-
-
Passo 6
Agora, vamos resumir para esboçar o gráfico:
-
Máximos Locais: Em
e . -
Mínimo Local: Em
. -
Pontos de Inflexão: Aproximadamente em
e , onde a concavidade muda. -
Concavidade:
-
Côncava para baixo:
e . -
Côncava para cima:
.
-
-
Comportamento das Derivadas:
-
Subindo:
e . -
Descendo:
e .
-
Resposta
O gráfico da função
possui dois máximos locais em
e
, um mínimo local em
, e pontos de inflexão em
e
. A função é côncava para baixo em
e
, e côncava para cima entre
. Ela sobe quando
e
, e desce quando
e
. Com base nessas características, o esboço do gráfico refletirá esses comportamentos nas respectivas regiões.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.
Temos o sistema:
Ou seja, e
, as coordenadas são
Ou seja,
Analise cuidadosamente as afirmativas abaixo, e classifique cada uma delas como VERDADEIRA ou FALSA:
e
, podemos afirmar que
. Verdadeiro
Analise cuidadosamente as afirmativas abaixo, e classifique cada uma delas como VERDADEIRA ou FALSA: Se
e
, podemos afirmar que
.Falso