Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas: se ou se ou se se ou .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar o gráfico de uma função que atende a várias condições sobre suas derivadas primeira e segunda. Isso envolve conceitos de cálculo, como derivadas e suas interpretações no gráfico da função. Vamos precisar entender o que cada condição significa para o formato do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as condições envolvendo a derivada primeira, :
  • : Isso indica que nos pontos , e a inclinação da função é zero, ou seja, são pontos onde a função pode ter um máximo, mínimo ou um ponto de inflexão.
  • para ou : Isso significa que a função está subindo nessas regiões.
  • para ou : Aqui, a função está descendo nessas áreas.

Passo 3

Agora, vamos ver as condições da derivada segunda, :
  • para : Isso indica que a função está côncava para cima nesse intervalo, ou seja, o gráfico tem uma “forma de sorriso”.
  • para ou : Aqui, a função está côncava para baixo, com o gráfico parecendo uma “forma de careta”.

Passo 4

Vamos identificar os pontos críticos onde :
  • Em , e . Nesses pontos, a função pode ter:
    • Máximos ou mínimos locais: Dependendo do comportamento das derivadas ao redor desses pontos.
    • Pontos de inflexão: Se a concavidade muda, mas não há máximo ou mínimo.

Passo 5

Vamos analisar cada ponto crítico:
  • :
    • Antes de 0 ( ): (subindo).
    • Depois de 0 ( ): (descendo).
    • Isso sugere que é um máximo local.
    • Para a concavidade:
      • : (côncava para baixo).
      • : (côncava para cima).
      • Portanto, há uma mudança de concavidade em , possivelmente um ponto de inflexão.
  • :
    • Antes de 2 ( ): (descendo).
    • Depois de 2 ( ): (subindo).
    • Isso indica que é um mínimo local.
    • Para a concavidade:
      • : (côncava para cima).
      • : (côncava para baixo).
      • Mudança de concavidade em , outro possível ponto de inflexão.
  • :
    • Antes de 4 ( ): (subindo).
    • Depois de 4 ( ): (descendo).
    • Isso sugere que é um máximo local.
    • Para a concavidade:
      • : (côncava para baixo).

Passo 6

Agora, vamos resumir para esboçar o gráfico:
  • Máximos Locais: Em e .
  • Mínimo Local: Em .
  • Pontos de Inflexão: Aproximadamente em e , onde a concavidade muda.
  • Concavidade:
    • Côncava para baixo: e .
    • Côncava para cima: .
  • Comportamento das Derivadas:
    • Subindo: e .
    • Descendo: e .

Resposta

O gráfico da função possui dois máximos locais em e , um mínimo local em , e pontos de inflexão em e . A função é côncava para baixo em e , e côncava para cima entre . Ela sobe quando e , e desce quando e . Com base nessas características, o esboço do gráfico refletirá esses comportamentos nas respectivas regiões.

Exercícios relacionados

Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.
Temos o sistema:


Ou seja, e , as coordenadas são
Analise cuidadosamente as afirmativas abaixo, e classifique cada uma delas como VERDADEIRA ou FALSA: e , podemos afirmar que . Verdadeiro
Analise cuidadosamente as afirmativas abaixo, e classifique cada uma delas como VERDADEIRA ou FALSA: Se e , podemos afirmar que .Falso