Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
12.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função e determinar os valores de para os quais o limite existe. Vamos usar conceitos de limites e funções definidas por partes para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Isso significa que o gráfico da função muda de comportamento em e . Vamos esboçar cada parte:
  1. Para : A função é . Como varia entre -1 e 1, varia entre 0 e 2.
  2. Para : A função é . O cosseno varia de 1 a -1 nesse intervalo.
  3. Para : A função é , que varia entre -1 e 1.

Passo 3

Agora, vamos determinar para quais valores de o limite existe. O limite existe em todos os pontos onde a função é contínua. As possíveis descontinuidades estão nos pontos onde a definição da função muda, ou seja, em e .
Vamos analisar cada ponto:
  1. Em :
    • Limite pela esquerda ( ):
    • Limite pela direita ( ):
    Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, o limite existe e é igual a 1.
  2. Em :
    • Limite pela esquerda ( ):
    • Limite pela direita ( ):
    Aqui, os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( ), então o limite não existe.
  3. Para qualquer outro valor de :
    • Se não for nem , a função é definida por uma única expressão em um intervalo aberto ao redor de , então o limite existe e é simplesmente .

Resposta

O limite existe para todo valor de real, exceto quando .

Exercícios relacionados

Use o gráfico da função para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê.

(b)
Use o gráfico da função para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê.

(a)
Use o gráfico da função para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê.

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Determine
(b) raciocinando como no Exemplo 9, e