Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
12.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função e determinar os valores de para os quais o limite existe. Vamos usar conceitos de limites e funções definidas por partes para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Isso significa que o gráfico da função muda de comportamento em e . Vamos esboçar cada parte:
Para : A função é . Como varia entre -1 e 1, varia entre 0 e 2.
Para : A função é . O cosseno varia de 1 a -1 nesse intervalo.
Para : A função é , que varia entre -1 e 1.
Passo 3
Agora, vamos determinar para quais valores de o limite existe. O limite existe em todos os pontos onde a função é contínua. As possíveis descontinuidades estão nos pontos onde a definição da função muda, ou seja, em e .
Vamos analisar cada ponto:
Em :
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita ():
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, o limite existe e é igual a 1.
Em :
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita ():
Aqui, os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (), então o limite não existe.
Para qualquer outro valor de :
Se não for nem , a função é definida por uma única expressão em um intervalo aberto ao redor de , então o limite existe e é simplesmente .
Resposta
O limite existe para todo valor de real, exceto quando .