Mostre que se
é um número interiro positivo, então:
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se
é um número inteiro positivo, então o limite de
quando
tende a mais infinito é igual a zero. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo de Limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando
fica muito grande e aplicar alguns conceitos básicos de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Aqui,
significa que
está sendo elevado a uma potência inteira positiva
. Conforme
aumenta,
também aumenta rapidamente. Por exemplo, se
, então
cresce muito mais rápido que
sozinho.
Passo 3
Agora, como
está no denominador da fração
, quanto maior for
, menor será o valor da fração. Isso porque quando o denominador de uma fração aumenta, o valor total da fração diminui.
Passo 4
Vamos pensar no que acontece quando
tende a mais infinito (
). À medida que
fica muito, muito grande,
também fica enorme, fazendo com que
fique cada vez menor. Em termos matemáticos, dizemos que
se aproxima de zero conforme
cresce sem limites.
Passo 5
Para formalizar isso, usamos a definição de limite no infinito. Dizemos que:
Isso significa que, para qualquer número muito pequeno que você escolha (por exemplo, 0,0001), existe um valor de
grande o suficiente para que
seja menor que esse número pequeno.
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Mostre que sejam
e
funções tais que
esteja bem definida. E
é contínua em
e
é contínua em
, então
é contínua em
.
Esboce o gráfico da função
. O
e a curva passa por
.
Mostre que se
é um número interiro positivo, então:
Determine o limite de: