Mostre que se n é um número interiro positivo, então: lim x +infty 1x^n=0

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se é um número inteiro positivo, então o limite de quando tende a mais infinito é igual a zero. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo de Limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando fica muito grande e aplicar alguns conceitos básicos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Aqui, significa que está sendo elevado a uma potência inteira positiva . Conforme aumenta, também aumenta rapidamente. Por exemplo, se , então cresce muito mais rápido que sozinho.

Passo 3

Agora, como está no denominador da fração , quanto maior for , menor será o valor da fração. Isso porque quando o denominador de uma fração aumenta, o valor total da fração diminui.

Passo 4

Vamos pensar no que acontece quando tende a mais infinito ( ). À medida que fica muito, muito grande, também fica enorme, fazendo com que fique cada vez menor. Em termos matemáticos, dizemos que se aproxima de zero conforme cresce sem limites.

Passo 5

Para formalizar isso, usamos a definição de limite no infinito. Dizemos que:
limx to +infty 1x^n = 0
Isso significa que, para qualquer número muito pequeno que você escolha (por exemplo, 0,0001), existe um valor de grande o suficiente para que seja menor que esse número pequeno.

Resposta

Portanto, mostramos que:
limx to +infty 1x^n = 0

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