Mostre que se é um número interiro positivo, então:

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se é um número inteiro positivo, então o limite de quando tende a mais infinito é igual a zero. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo de Limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando fica muito grande e aplicar alguns conceitos básicos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Aqui, significa que está sendo elevado a uma potência inteira positiva . Conforme aumenta, também aumenta rapidamente. Por exemplo, se , então cresce muito mais rápido que sozinho.

Passo 3

Agora, como está no denominador da fração , quanto maior for , menor será o valor da fração. Isso porque quando o denominador de uma fração aumenta, o valor total da fração diminui.

Passo 4

Vamos pensar no que acontece quando tende a mais infinito ( ). À medida que fica muito, muito grande, também fica enorme, fazendo com que fique cada vez menor. Em termos matemáticos, dizemos que se aproxima de zero conforme cresce sem limites.

Passo 5

Para formalizar isso, usamos a definição de limite no infinito. Dizemos que:
Isso significa que, para qualquer número muito pequeno que você escolha (por exemplo, 0,0001), existe um valor de grande o suficiente para que seja menor que esse número pequeno.

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Mostre que sejam e funções tais que esteja bem definida. E é contínua em e é contínua em , então é contínua em .
Esboce o gráfico da função . O e a curva passa por .
Mostre que se é um número interiro positivo, então:
Determine o limite de: