Mostre que sejam
e
funções tais que
esteja bem definida. E
é contínua em
e
é contínua em
, então
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que se temos duas funções
e
de tal forma que a composição
está bem definida, e se
é contínua em um ponto
e
é contínua em
, então a composição
também é contínua em
. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de continuidade de funções e como ela se comporta quando fazemos a composição de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que a função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, ou seja:
De forma similar,
é contínua em
se:
Passo 3
Agora, queremos provar que a composição
é contínua em
. Isso significa que:
Para fazer isso, vamos usar o fato de que
é contínua em
e
é contínua em
.
Passo 4
Como
é contínua em
, sabemos que:
Isso nos diz que, à medida que
se aproxima de
,
se aproxima de
.
Passo 5
Sabemos também que
é contínua em
, ou seja:
Agora, substituindo
por
, já que
está se aproximando de
quando
se aproxima de
, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que
, o que prova que a composição
é contínua em
.