Mostre que sejam f e g funções tais que g(f) esteja bem definida. E f é contínua em a e g é contínua em f(a), então g(f) é contínua em a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que se temos duas funções e de tal forma que a composição está bem definida, e se é contínua em um ponto e é contínua em , então a composição também é contínua em . Aqui, estamos trabalhando com o conceito de continuidade de funções e como ela se comporta quando fazemos a composição de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que a função é contínua em se o limite de quando se aproxima de é igual a , ou seja:
De forma similar, é contínua em se:

Passo 3

Agora, queremos provar que a composição é contínua em . Isso significa que:
Para fazer isso, vamos usar o fato de que é contínua em e é contínua em .

Passo 4

Como é contínua em , sabemos que:
Isso nos diz que, à medida que se aproxima de , se aproxima de .

Passo 5

Sabemos também que é contínua em , ou seja:
Agora, substituindo por , já que está se aproximando de quando se aproxima de , temos:

Resposta

Portanto, mostramos que , o que prova que a composição é contínua em .

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