Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função que é definida por partes. Isso significa que a função muda a regra dependendo do valor de . Vamos precisar entender cada parte da função e como ela se comporta nos diferentes intervalos de .
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função: quando . Essa é uma função quadrática, ou seja, é uma parábola. Para desenhar essa parte, precisamos encontrar o vértice da parábola e alguns pontos para ter uma ideia de como ela se comporta.
Passo 3
Vamos encontrar o vértice da parábola . A fórmula para o vértice de uma função quadrática é . Aqui, e , então:
Mas como estamos considerando , o vértice está fora do nosso intervalo de interesse. Isso significa que, para , a parábola está decrescendo.
Passo 4
Como a parábola está decrescendo para , vamos calcular o valor de em um ponto, por exemplo, :
Então, quando , . Isso nos dá um ponto para desenhar a parábola no intervalo .
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte da função: quando . Essa é uma função linear, ou seja, uma reta. Para desenhar essa reta, vamos encontrar dois pontos.
Passo 6
Vamos calcular e :
Então, temos os pontos e para desenhar a reta no intervalo .
Passo 7
Por último, temos a terceira parte da função: quando . Essa também é uma função quadrática. Vamos encontrar o vértice e alguns pontos para entender como ela se comporta.
Passo 8
O vértice da parábola é encontrado usando . Aqui, e , então:
Mas como estamos considerando , o vértice está fora do nosso intervalo. A parábola está decrescendo para .
Passo 9
Vamos calcular para ter um ponto:
Então, quando , . Isso nos ajuda a desenhar a parábola no intervalo .
Passo 10
Agora, vamos juntar tudo! Desenhamos a parábola decrescendo para , a reta de a , e a outra parábola decrescendo para . Assim, temos o esboço completo do gráfico da função .
Resposta
O gráfico da função consiste em três partes: uma parábola decrescente para , uma reta linear de a , e outra parábola decrescente para . Juntando essas partes, temos o esboço completo da função.