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Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de limites que envolvem funções trigonométricas, logaritmos e exponenciais, além de possivelmente utilizar a Regra de L’Hôpital para casos indeterminados.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir por diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite:
Aqui, vemos que temos uma forma indeterminada do tipo . Isso sugere que precisamos de uma abordagem mais cuidadosa para encontrar o limite.

Passo 3

Dado que a substituição direta resultou em uma forma indeterminada, vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites que resultam em ou . A Regra de L’Hôpital afirma que, sob certas condições, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a :
  • Derivada do numerador :
Usando a regra do produto:
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no lugar original do limite:
Vamos analisar cada termo separadamente:
  1. Para o termo , quando , , mas permanece finito. Então, esse termo tende a infinito negativo dividido por infinito, o que ainda é uma forma indeterminada.
  2. Para o termo , quando , , então essa fração tende a .
Portanto, o termo dominante é , que tende a , enquanto também tende a , que é uma constante positiva. Assim, o limite total tende a .

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

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, onde são numeros reais diferentes de zero.
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Esboce o gráfico das funções abaixo, analisando o domínio, interseções com os eixos coordenados, simetrias, assíntotas horizontais, assíntotas verticais, pontos críticos, classificação dos pontos críticos, concavidades e pontos de inflexões.
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