.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de limites que envolvem funções trigonométricas, logaritmos e exponenciais, além de possivelmente utilizar a Regra de L’Hôpital para casos indeterminados.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
por
diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite:
Aqui, vemos que temos uma forma indeterminada do tipo
. Isso sugere que precisamos de uma abordagem mais cuidadosa para encontrar o limite.
Passo 3
Dado que a substituição direta resultou em uma forma indeterminada, vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites que resultam em
ou
. A Regra de L’Hôpital afirma que, sob certas condições, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
:
- Derivada do numerador
:
Usando a regra do produto:
- Derivada do denominador
:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no lugar original do limite:
Vamos analisar cada termo separadamente:
-
Para o termo
, quando , , mas permanece finito. Então, esse termo tende a infinito negativo dividido por infinito, o que ainda é uma forma indeterminada. -
Para o termo
, quando , , então essa fração tende a .
Portanto, o termo dominante é
, que tende a
, enquanto
também tende a
, que é uma constante positiva. Assim, o limite total tende a
.
Resposta
O limite
é igual a
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções abaixo, analisando o domínio, interseções com os eixos coordenados, simetrias, assíntotas horizontais, assíntotas verticais, pontos críticos, classificação dos pontos críticos, concavidades e pontos de inflexões.
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