Esboce o gráfico das funções abaixo :
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função
. Isso envolve entender que tipo de superfície essa equação representa e como ela se posiciona no espaço. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação
. Podemos reescrever isso como
. Essa é a equação de um círculo no plano
com raio
e centro na origem (0,0).
Passo 3
Mas, como estamos lidando com duas variáveis independentes,
e
, e uma dependente,
, a gente está falando de uma superfície no espaço tridimensional (
). A equação
representa um paraboloide.
Passo 4
Um paraboloide é uma superfície que se parece com uma tigela ou um prato, dependendo da orientação. No nosso caso, como os coeficientes de
e
são positivos, o paraboloide abre para cima. O termo constante
indica que o vértice da superfície está deslocado 2 unidades abaixo do plano
, ou seja, no ponto (0, 0, -2).
Passo 5
Para esboçar o gráfico, podemos considerar alguns pontos chave:
- Vértice: (0, 0, -2)
- Corte com o plano
: — um círculo com raio - Interseções com os eixos:
- Quando
e , - Não há interseções com os eixos
e , já que para encontrar ou isoladamente, precisaríamos de mais informações.
- Quando
Resposta
O gráfico da função
é um paraboloide que abre para cima, com vértice no ponto (0, 0, -2). No plano
, ele intercepta formando um círculo com raio
. Assim, o esboço consiste em uma tigela aberta para cima, centralizada na origem e deslocada 2 unidades para baixo no eixo
.
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Trace algumas curvas de nível das funções abaixo:
b)
b)
Esboce o gráfico das funções abaixo :
e)
e)
Trace algumas curvas de nível das funções abaixo:
c)
c)
Calcule as derivadas.