Esboce o gráfico das funções abaixo :
d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender que tipo de superfície essa equação representa e como ela se posiciona no espaço. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Podemos reescrever isso como . Essa é a equação de um círculo no plano com raio e centro na origem (0,0).

Passo 3

Mas, como estamos lidando com duas variáveis independentes, e , e uma dependente, , a gente está falando de uma superfície no espaço tridimensional ( ). A equação representa um paraboloide.

Passo 4

Um paraboloide é uma superfície que se parece com uma tigela ou um prato, dependendo da orientação. No nosso caso, como os coeficientes de e são positivos, o paraboloide abre para cima. O termo constante indica que o vértice da superfície está deslocado 2 unidades abaixo do plano , ou seja, no ponto (0, 0, -2).

Passo 5

Para esboçar o gráfico, podemos considerar alguns pontos chave:
  • Vértice: (0, 0, -2)
  • Corte com o plano : — um círculo com raio
  • Interseções com os eixos:
    • Quando e ,
    • Não há interseções com os eixos e , já que para encontrar ou isoladamente, precisaríamos de mais informações.

Resposta

O gráfico da função é um paraboloide que abre para cima, com vértice no ponto (0, 0, -2). No plano , ele intercepta formando um círculo com raio . Assim, o esboço consiste em uma tigela aberta para cima, centralizada na origem e deslocada 2 unidades para baixo no eixo .

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Trace algumas curvas de nível das funções abaixo:
b)
Esboce o gráfico das funções abaixo :
e)
Trace algumas curvas de nível das funções abaixo:
c)
Calcule as derivadas.