Trace algumas curvas de nível das funções abaixo:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente traçar algumas curvas de nível da função . Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como derivar essas curvas a partir da função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
assume um valor constante. Ou seja, para um valor específico
, a curva de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem
.
Passo 3
No nosso caso, a função é . Para encontrar as curvas de nível, vamos igualar essa função a diferentes valores constantes
:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
em termos de
:
Isso significa que, para cada valor de
, temos uma função que relaciona
e
. Essas funções representam as curvas de nível da nossa função original.
Passo 5
Vamos escolher alguns valores de
para traçar as curvas:
-
: Essa é a linha horizontal no eixo, ou seja, o eixo mesmo. -
: Essa curva terá pontos onde não é zero, ou seja,, onde é inteiro. A curva terá duas partes simétricas em relação ao eixo , se aproximando de valores altos quando se aproxima de zero. -
: Similar ao caso de, mas invertida em relação ao eixo . -
: Essa curva será semelhante à de, mas com valores maiores de . -
: Novamente, semelhante à de, mas com valores menores de .
Passo 6
Para visualizar, imagine que cada curva de nível para
tem assíntotas verticais nos pontos onde (ou seja,
), já que a função tende ao infinito positivo ou negativo nesses pontos. Entre essas assíntotas, as curvas terão valores que diminuem ou aumentam conforme o valor de
escolhido.
Resposta
As curvas de nível da função são dadas por para diferentes valores de
. Por exemplo:
- Para
, a curva é o eixo ( ). - Para
e , as curvas são hipérboles simétricas em relação ao eixo , com assíntotas em . - Para valores maiores de
(como ou ), as curvas se afastam mais das assíntotas, representando valores maiores ou menores de .
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções abaixo :
d)
d)
Trace algumas curvas de nível das funções abaixo:
b)
b)
Calcule as derivadas.