Trace algumas curvas de nível das funções abaixo:
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente traçar algumas curvas de nível da função . Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como derivar essas curvas a partir da função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor específico , a curva de nível é o conjunto de pontos que satisfazem .

Passo 3

No nosso caso, a função é . Para encontrar as curvas de nível, vamos igualar essa função a diferentes valores constantes :

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para em termos de :
Isso significa que, para cada valor de , temos uma função que relaciona e . Essas funções representam as curvas de nível da nossa função original.

Passo 5

Vamos escolher alguns valores de para traçar as curvas:
  1. :
    Essa é a linha horizontal no eixo , ou seja, o eixo mesmo.
  2. :
    Essa curva terá pontos onde não é zero, ou seja, , onde é inteiro. A curva terá duas partes simétricas em relação ao eixo , se aproximando de valores altos quando se aproxima de zero.
  3. :
    Similar ao caso de , mas invertida em relação ao eixo .
  4. :
    Essa curva será semelhante à de , mas com valores maiores de .
  5. :
    Novamente, semelhante à de , mas com valores menores de .

Passo 6

Para visualizar, imagine que cada curva de nível para tem assíntotas verticais nos pontos onde (ou seja, ), já que a função tende ao infinito positivo ou negativo nesses pontos. Entre essas assíntotas, as curvas terão valores que diminuem ou aumentam conforme o valor de escolhido.

Resposta

As curvas de nível da função são dadas por para diferentes valores de . Por exemplo:
  • Para , a curva é o eixo ( ).
  • Para e , as curvas são hipérboles simétricas em relação ao eixo , com assíntotas em .
  • Para valores maiores de (como ou ), as curvas se afastam mais das assíntotas, representando valores maiores ou menores de .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das funções abaixo :
d)
Trace algumas curvas de nível das funções abaixo:
b)
Calcule as derivadas.
.