Esboce o gráfico das funções abaixo. onde é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico de uma função que é definida em partes diferentes, dependendo do valor de . Esse tipo de função é chamada de função por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar cada parte da função separadamente e depois juntar tudo no gráfico final.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da função para :
Teoria Aplicada: Essa é uma função linear, que tem a forma , onde é o coeficiente angular (inclinação) e é o coeficiente linear (interseção com o eixo y).
O que precisamos fazer:
Identificar o coeficiente angular e o coeficiente linear .
Encontrar pontos para desenhar a reta.
Como essa parte é válida para , vamos encontrar o valor de :
Então, temos o ponto . Essa reta vai se estender para a esquerda a partir desse ponto.
Passo 3
Agora, vamos para a parte da função para :
Teoria Aplicada: Essa é uma função constante, ou seja, para qualquer valor de dentro desse intervalo, o valor de é sempre 2. Isso resulta em uma linha horizontal no gráfico.
O que precisamos fazer:
Como a função é constante, o gráfico será uma reta horizontal passando por .
Essa parte é válida entre e , mas não inclui esses pontos.
Passo 4
Por último, vamos analisar a parte da função para :
Teoria Aplicada: Essa é uma função quadrática, que forma uma parábola. A forma geral é . No nosso caso, , então a parábola é “para cima”.
O que precisamos fazer:
Encontrar pontos para desenhar a parábola.
Vamos calcular :
Então, temos o ponto . A parábola se estende para a direita a partir desse ponto.
Passo 5
Agora que já temos todas as partes da função, vamos juntar tudo:
Para : uma reta que passa por e se estende para a esquerda.
Para : uma reta horizontal em , sem incluir os pontos em e .
Para : uma parábola que começa em e se estende para a direita.
Observações Importantes:
Nos pontos e , precisamos verificar se a função está definida ou não.
Em , a função tem o valor pela primeira parte.
Em , a função tem o valor pela terceira parte.
Resposta
O gráfico da função é composto por três partes: uma reta decrescente para , uma reta horizontal em para e uma parábola que se abre para cima a partir de . As transições ocorrem nos pontos e .