Uma função
é dita radial se existir uma função
tal que
(b) Se uma função possuir derivadas parciais de segunda ordem, define-se o laplaciano de , e denota-se por
que também se escreve
Se for de classe , expressar o laplaciano de uma função radial em termos de e nos seguintes casos:
i. No

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções radiais, que são funções que dependem apenas da distância do ponto à origem. Aqui, estamos lidando com o laplaciano dessa função radial no espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o laplaciano e como ele se aplica a funções radiais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o laplaciano. O laplaciano de uma função em é a soma das segundas derivadas parciais em cada coordenada:
No nosso caso, estamos trabalhando em , então:

Passo 3

Como a função é radial, ela pode ser escrita como , onde . Nossa missão é expressar o laplaciano em termos das derivadas de .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais primeiro. A primeira derivada de em relação a é:
Agora, a segunda derivada será:

Passo 5

Somando as duas segundas derivadas para obter o laplaciano:
Como , simplificamos:

Resposta

O laplaciano de uma função radial em é dado por:

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Esboce o gráfico das funções abaixo.
onde é dada por:
Sejam três funções onde:
Determine:
Sejam e , (S), dois conjuntos. Quais, das relações abaixo, caracteriza uma função? Justifique sua resposta!
a) , onde







(s)

b) , onde
ð




ð
D
(S)
c) , onde











Sejam , de classe e um domínio simplesmente conexo. Mostre que se
então e diferem por um campo gradiente, isto é, existe uma função escalar diferenciável tal que