(b) Se uma função possuir derivadas parciais de segunda ordem, define-se o laplaciano de , e denota-se por
que também se escreve
Se for de classe , expressar o laplaciano de uma função radial em termos de e nos seguintes casos:
i. No
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções radiais, que são funções que dependem apenas da distância do ponto à origem. Aqui, estamos lidando com o laplaciano dessa função radial no espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o laplaciano e como ele se aplica a funções radiais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o laplaciano. O laplaciano de uma função em é a soma das segundas derivadas parciais em cada coordenada:
No nosso caso, estamos trabalhando em , então:
Passo 3
Como a função é radial, ela pode ser escrita como , onde . Nossa missão é expressar o laplaciano em termos das derivadas de .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais primeiro. A primeira derivada de em relação a é:
Agora, a segunda derivada será:
Passo 5
Somando as duas segundas derivadas para obter o laplaciano: