Uma função
f: U subset R^n longrightarrow R,
é dita radial se existir uma função
g: R+ longrightarrow R
tal que
f(X)=g(r), forall X=(x1, ldots, xn) in R^n, onde r=|X|E
(b) Se uma função f possuir derivadas parciais de segunda ordem, define-se o laplaciano de f, e denota-se por
De
que também se escreve
triang<= f=fx1 x1+ldots+fxn xn ou triang<= f=f11+ldots+fn n
Se g for de classe C^2, expressar o laplaciano de uma função radial em termos de g^prime e g^prime prime nos seguintes casos:
i. No R^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções radiais, que são funções que dependem apenas da distância do ponto à origem. Aqui, estamos lidando com o laplaciano dessa função radial no espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o laplaciano e como ele se aplica a funções radiais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o laplaciano. O laplaciano de uma função De em De é a soma das segundas derivadas parciais em cada coordenada:
No nosso caso, estamos trabalhando em , então:

Passo 3

Como a função é radial, ela pode ser escrita como , onde . Nossa missão é expressar o laplaciano em termos das derivadas de .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais primeiro. A primeira derivada de partial fpartial xi = g'(r) cdot xir em relação a partial^2 fpartial xi^2 = g''(r) cdot (xir)^2 + g'(r) cdot (r^2 - xi^2r^3) é:
Agora, a segunda derivada será:

Passo 5

Somando as duas segundas derivadas para obter o laplaciano:
De
Como De, simplificamos:

Resposta

O laplaciano de uma função radial em De é dado por:

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