Uma função
é dita radial se existir uma função
tal que
(b) Se uma função
possuir derivadas parciais de segunda ordem, define-se o laplaciano de
, e denota-se por
que também se escreve
Se
for de classe
, expressar o laplaciano de uma função radial em termos de
e
nos seguintes casos:
i. No
i. No
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções radiais, que são funções que dependem apenas da distância do ponto à origem. Aqui, estamos lidando com o laplaciano dessa função radial no espaço
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o laplaciano e como ele se aplica a funções radiais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o laplaciano. O laplaciano de uma função
em
é a soma das segundas derivadas parciais em cada coordenada:
No nosso caso, estamos trabalhando em
, então:
Passo 3
Como a função
é radial, ela pode ser escrita como
, onde
. Nossa missão é expressar o laplaciano
em termos das derivadas de
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais primeiro. A primeira derivada de
em relação a
é:
Agora, a segunda derivada será:
Passo 5
Somando as duas segundas derivadas para obter o laplaciano:
Como
, simplificamos:
Resposta
O laplaciano de uma função radial em
é dado por: