Sejam A=neg, raiz , triang<=, circ<=dast, diamond, ddag>=r, sharp, mho, boxplus e B=curlywed>=, partial, 1, ð, *, odot, varang<=, approx, (S), dois conjuntos. Quais, das relações abaixo, caracteriza uma função? Justifique sua resposta!
a) f: A B, onde
diamond mapsto 人
raiz mapsto 1
triang<= mapsto odot
neg mapsto varang<=
ddag>=r mapsto
circ<=dast mapsto partial
boxplus mapsto varang<=
mapsto (s)
sharp mapsto Im
b) g: A B, onde
triang<= mapsto ð
triang<= mapsto 人
boxplus mapsto approx
diamond mapsto lambda
ddag>=r mapsto approx
mho mapsto ð
boxplus mapsto D
diamond mapsto (S)
c) h: A B, onde
raiz mapsto partial
raiz mapsto 1
neg mapsto Im
mho mapsto approx
neg mapsto Im
raiz mapsto odot
triang<= mapsto 1
# mapsto
mho mapsto *
circ<=dast mapsto partial
circ<=dast mapsto 1
mapsto mapsto 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício tá pedindo pra gente analisar três relações entre os conjuntos e e descobrir quais dessas relações são funções. A matéria envolvida aqui é Funções, um conceito básico de Matemática Discreta ou Teoria dos Conjuntos. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma função: cada elemento do conjunto de partida ( ) deve estar ligado a apenas um elemento do conjunto de chegada ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função. Uma função é uma regra que associa cada elemento de a um único elemento de . Isso significa que:
  1. Todo elemento de precisa ter uma correspondência em . Não pode faltar nenhum.
  2. Cada elemento de só pode estar ligado a um único elemento de . Não pode ter um mesmo elemento de ligado a dois ou mais elementos diferentes de .
Agora, vamos analisar cada uma das relações (a, b, c) para ver se elas cumprem essas duas condições.

Passo 3

Analisando a relação a)
A relação a) associa cada elemento de a um único elemento de :
  • Parece que houve um erro de digitação com (S)
Observamos que:
  • Cada elemento de é ligado a apenas um elemento de .
  • Embora alguns elementos de recebam múltiplas ligações (como ), isso não é problema para a definição de função.
Portanto, a relação a) cumpre as condições de uma função.

Passo 4

Analisando a relação b)
Na relação b), vamos ver as associações:
Observamos que:
  • O elemento está mapeado para dois elementos diferentes ( e ). Isso viola a regra de que cada elemento de deve estar ligado a apenas um elemento de .
  • Além disso, e também estão ligados a múltiplos elementos.
Portanto, a relação b) NÃO é uma função.

Passo 5

Analisando a relação c)
Agora, vamos ver a relação c):
  • (provavelmente um erro de digitação para algum símbolo)
  • (isso parece ser um erro na formulação)
Observamos que:
  • O elemento está ligado a três elementos diferentes ( , , e ).
  • também está mapeado para dois elementos diferentes.
  • Além disso, há alguns símbolos que parecem estar mal escritos ou faltando, o que já complica mais a relação.
Portanto, a relação c) NÃO é uma função.

Resposta

Apenas a relação a) caracteriza uma função.

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