Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f(x, y) ):
z = raiz(2y - x^2 - y^2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e queremos esboçar o gráfico dessa função. Para resolver isso, precisamos entender como essa função se comporta no espaço tridimensional, especialmente onde a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa, já que a raiz quadrada de um número negativo não é real.

Passo 2

Vamos começar analisando a expressão dentro da raiz quadrada: . Para que z seja um número real, essa expressão deve ser maior ou igual a zero:

Passo 3

Rearranjando a inequação, temos:
Podemos reescrever isso como:

Passo 4

Vamos completar o quadrado para simplificar a expressão em y:
Isso se torna:

Passo 5

A inequação representa um círculo no plano xy com centro em e raio 1. Portanto, a função z está definida apenas dentro e na fronteira desse círculo.

Passo 6

Para esboçar o gráfico de , consideramos que para cada ponto (x, y) dentro do círculo, z assume valores reais positivos ou zero. À medida que nos afastamos do centro do círculo, os valores de z diminuem até chegarem a zero na fronteira.

Passo 7

O gráfico de z será uma superfície parabólica que atinge seu ponto mais alto no centro do círculo e desce até a base na fronteira do círculo. Basicamente, teremos uma espécie de “montanha” circular onde a altura z depende da distância do ponto (x, y) ao centro.

Resposta

O gráfico da função é uma superfície parabólica circular com centro em no plano xy e raio 1, onde a altura z varia de 0 até o máximo no centro do círculo.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f(x, y) ):
z = -raiz(9 - x^2 - y^2).
Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível c dados:
f(x, y) = x * y
, c = -2, c = -1, c = 1, c = 2.
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
f(x, y) = 3 / (x + 3y).
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
f(x, y) = raiz(x^2 - 4y^2 + 16).