Esboce o gráfico das funções abaixo (onde
):
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e queremos esboçar o gráfico dessa função. Para resolver isso, precisamos entender como essa função se comporta no espaço tridimensional, especialmente onde a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa, já que a raiz quadrada de um número negativo não é real.
Passo 2
Vamos começar analisando a expressão dentro da raiz quadrada:
. Para que
seja um número real, essa expressão deve ser maior ou igual a zero:
Passo 3
Rearranjando a inequação, temos:
Podemos reescrever isso como:
Passo 4
Vamos completar o quadrado para simplificar a expressão em
:
Isso se torna:
Passo 5
A inequação
representa um círculo no plano
com centro em
e raio
. Portanto, a função
está definida apenas dentro e na fronteira desse círculo.
Passo 6
Para esboçar o gráfico de
, consideramos que para cada ponto
dentro do círculo,
assume valores reais positivos ou zero. À medida que nos afastamos do centro do círculo, os valores de
diminuem até chegarem a zero na fronteira.
Passo 7
O gráfico de
será uma superfície parabólica que atinge seu ponto mais alto no centro do círculo
e desce até a base na fronteira do círculo. Basicamente, teremos uma espécie de “montanha” circular onde a altura
depende da distância do ponto
ao centro.
Resposta
O gráfico da função
é uma superfície parabólica circular com centro em
no plano
e raio
, onde a altura
varia de 0 até o máximo no centro do círculo.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde
):
.
Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível
dados:
, .
,
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
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Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
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