Esboce o gráfico das funções abaixo:
Parabolóides:
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
. Estamos lidando com parabolóides, que fazem parte da geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam no espaço tridimensional e como desenhar suas curvas principais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de parabolóide que temos. A função
é uma paraboloide elíptica, porque os coeficientes de
e
são positivos e diferentes. Isso significa que o gráfico vai parecer uma tigela ou um domo.
Passo 3
Vamos determinar o vértice da paraboloide. O vértice é o ponto mais baixo da parabolóide. Como não há termos lineares em
ou
e não há constante, o vértice está na origem, ou seja, em
.
Passo 4
Agora, vamos analisar as interseções com os planos coordenados para ajudar no esboço:
-
Interseção com o plano XY: Para encontrar isso, fixamos
. Então, . A única solução real é e , ou seja, a origem. -
Interseção com o plano XZ: Fixamos
. A equação fica . Isso é uma parábola que abre para cima. -
Interseção com o plano YZ: Fixamos
. A equação fica . Essa também é uma parábola que abre para cima.
Passo 5
Vamos pensar nas seções horizontais. Para cada valor fixo de
, temos
. Essa é a equação de uma elipse. À medida que
aumenta, as elipses ficam maiores. Isso confirma que a paraboloide é elíptica e se expande à medida que nos afastamos do vértice.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos agora esboçar o gráfico:
- Desenhe o sistema de eixos
, e . - Marque o vértice na origem
. - Trace as parábolas no plano XZ (
) e no plano YZ ( ). - Adicione algumas elipses horizontais para diferentes valores de
para mostrar como a paraboloide se expande. - Una tudo para formar a superfície suave da paraboloide elíptica.
Resposta
O gráfico da função
é uma paraboloide elíptica com vértice na origem, simétrica em relação aos eixos
e
, e que se expande à medida que
aumenta.