Esboce o gráfico das funções abaixo:

Parabolóides:

d) f(x, y) = 2*x^2 + y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função . Estamos lidando com parabolóides, que fazem parte da geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam no espaço tridimensional e como desenhar suas curvas principais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de parabolóide que temos. A função é uma paraboloide elíptica, porque os coeficientes de e são positivos e diferentes. Isso significa que o gráfico vai parecer uma tigela ou um domo.

Passo 3

Vamos determinar o vértice da paraboloide. O vértice é o ponto mais baixo da parabolóide. Como não há termos lineares em ou e não há constante, o vértice está na origem, ou seja, em .

Passo 4

Agora, vamos analisar as interseções com os planos coordenados para ajudar no esboço:
  • Interseção com o plano XY: Para encontrar isso, fixamos . Então, . A única solução real é e , ou seja, a origem.
  • Interseção com o plano XZ: Fixamos . A equação fica . Isso é uma parábola que abre para cima.
  • Interseção com o plano YZ: Fixamos . A equação fica . Essa também é uma parábola que abre para cima.

Passo 5

Vamos pensar nas seções horizontais. Para cada valor fixo de , temos . Essa é a equação de uma elipse. À medida que aumenta, as elipses ficam maiores. Isso confirma que a paraboloide é elíptica e se expande à medida que nos afastamos do vértice.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos agora esboçar o gráfico:
  1. Desenhe o sistema de eixos , e .
  2. Marque o vértice na origem .
  3. Trace as parábolas no plano XZ ( ) e no plano YZ ( ).
  4. Adicione algumas elipses horizontais para diferentes valores de para mostrar como a paraboloide se expande.
  5. Una tudo para formar a superfície suave da paraboloide elíptica.

Resposta

O gráfico da função é uma paraboloide elíptica com vértice na origem, simétrica em relação aos eixos e , e que se expande à medida que aumenta.

Exercícios relacionados