O Teorema de Gauss é uma ferramenta poderosa na análise de campos vetoriais, especialmente em situações que envolvem superfícies fechadas. Realize uma análise detalhada para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície de uma esfera de raio 3 centrada na origem. Esta análise deve incluir o cálculo do divergente do campo vetorial F, a aplicação do teorema para vincular este divergente ao fluxo através da superfície e considerações sobre as propriedades geométricas e físicas do campo e da superfície.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede pra gente calcular o fluxo de um campo vetorial
através da superfície de uma esfera de raio 3 centrada na origem. Para isso, vamos usar o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral do divergente desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Então, precisamos:
- Calcular o divergente do campo vetorial
. - Aplicar o Teorema de Gauss para ligar esse divergente ao fluxo que queremos encontrar.
- Considerar as propriedades geométricas e físicas do campo e da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é divergente. O divergente de um campo vetorial mede a “taxa de expansão” desse campo em cada ponto. Matematicamente, para um campo
, o divergente é dado por:
No nosso caso,
, então:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o divergente de
é:
Passo 3
Agora que já temos o divergente, vamos lembrar o que o Teorema de Gauss nos diz. Ele afirma que o fluxo do campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral do divergente de
sobre o volume
limitado por
. Matematicamente:
No nosso caso, a superfície
é a esfera de raio 3 centrada na origem, e o volume
é o interior dessa esfera. Já calculamos que
, então a integral sobre o volume será:
Passo 4
Vamos calcular o volume da esfera de raio 3. A fórmula do volume de uma esfera é:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, voltando à integral do volume:
Segundo o Teorema de Gauss, esse valor é igual ao fluxo do campo
através da superfície
.
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície da esfera de raio 3 centrada na origem é
.