O Teorema de Gauss é uma ferramenta poderosa na análise de campos vetoriais, especialmente em situações que envolvem superfícies fechadas. Realize uma análise detalhada para calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x, y, z) através da superfície de uma esfera de raio 3 centrada na origem. Esta análise deve incluir o cálculo do divergente do campo vetorial F, a aplicação do teorema para vincular este divergente ao fluxo através da superfície e considerações sobre as propriedades geométricas e físicas do campo e da superfície.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede pra gente calcular o fluxo de um campo vetorial através da superfície de uma esfera de raio 3 centrada na origem. Para isso, vamos usar o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral do divergente desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Então, precisamos:
  1. Calcular o divergente do campo vetorial F.
  2. Aplicar o Teorema de Gauss para ligar esse divergente ao fluxo que queremos encontrar.
  3. Considerar as propriedades geométricas e físicas do campo e da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é divergente. O divergente de um campo vetorial mede a “taxa de expansão” desse campo em cada ponto. Matematicamente, para um campo , o divergente é dado por:
No nosso caso, , então:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o divergente de F é:

Passo 3

Agora que já temos o divergente, vamos lembrar o que o Teorema de Gauss nos diz. Ele afirma que o fluxo do campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral do divergente de F sobre o volume V limitado por S. Matematicamente:
No nosso caso, a superfície S é a esfera de raio 3 centrada na origem, e o volume V é o interior dessa esfera. Já calculamos que , então a integral sobre o volume será:

Passo 4

Vamos calcular o volume da esfera de raio 3. A fórmula do volume de uma esfera é:
Substituindo :

Passo 5

Agora, voltando à integral do volume:
Segundo o Teorema de Gauss, esse valor é igual ao fluxo do campo F através da superfície S.

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície da esfera de raio 3 centrada na origem é .

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