Esboce o gráfico das funções abaixo:
Semi-Cones:
i)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função
. Essa função pertence ao estudo das superfícies no espaço tridimensional, mais especificamente a um tipo de superfície chamada de semi-cone. Para isso, vamos analisar a equação e identificar suas características principais.
Passo 2
Vamos começar simplificando a função para facilitar o entendimento. A função dada é:
Podemos reescrever isso como:
Isso nos ajuda a ver que
depende de
e
de uma forma que envolve uma combinação quadrática.
Passo 3
Para esboçar o gráfico, vamos analisar o que acontece com a função para diferentes valores de
e
. Note que a expressão dentro da raiz quadrada,
, é sempre positiva ou zero, o que significa que
também será sempre positivo ou zero. Isso indica que o gráfico estará acima do plano
e incluirá o plano
quando
.
Passo 4
Vamos entender a forma geral da superfície. A equação
representa uma superfície que se assemelha a um cone, mas com coeficientes diferentes para
e
. Para visualizar melhor, podemos considerar cortes da superfície com planos fixos de
ou
.
Passo 5
Vamos analisar os cortes paralelos aos eixos. Se fixarmos
, a equação fica:
Isso representa duas linhas retas com inclinação
e
. Similarmente, se fixarmos
, obtemos:
Isso também representa duas linhas retas com inclinação
e
. Esses cortes indicam que a superfície se expande mais rapidamente ao aumentar
do que ao aumentar
.
Passo 6
Para obter uma visão mais completa, vamos considerar que a função representa um semi-cone. Um cone padrão tem a forma
, onde
e
determinam a “apertura” do cone. No nosso caso,
e
, indicando que o cone é mais “estreito” na direção de
e mais “largo” na direção de
.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico. O gráfico será um semi-cone com a ponta no ponto
, abrindo-se para cima. As inclinações nas direções
e
serão diferentes devido aos coeficientes da função, resultando em um cone onde a largura aumenta mais lentamente na direção de
do que na direção de
.
Resposta
O gráfico da função
é um semi-cone com vértice na origem, abrindo-se para cima, mais estreito na direção do eixo
e mais amplo na direção do eixo
.