Esboce o gráfico das funções abaixo:

Semi-Cones:

i) f(x, y) = raiz(25 x^2 + 4 y^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função . Essa função pertence ao estudo das superfícies no espaço tridimensional, mais especificamente a um tipo de superfície chamada de semi-cone. Para isso, vamos analisar a equação e identificar suas características principais.

Passo 2

Vamos começar simplificando a função para facilitar o entendimento. A função dada é:
Podemos reescrever isso como:
Isso nos ajuda a ver que depende de e de uma forma que envolve uma combinação quadrática.

Passo 3

Para esboçar o gráfico, vamos analisar o que acontece com a função para diferentes valores de e . Note que a expressão dentro da raiz quadrada, , é sempre positiva ou zero, o que significa que também será sempre positivo ou zero. Isso indica que o gráfico estará acima do plano e incluirá o plano quando .

Passo 4

Vamos entender a forma geral da superfície. A equação representa uma superfície que se assemelha a um cone, mas com coeficientes diferentes para e . Para visualizar melhor, podemos considerar cortes da superfície com planos fixos de ou .

Passo 5

Vamos analisar os cortes paralelos aos eixos. Se fixarmos , a equação fica:
Isso representa duas linhas retas com inclinação e . Similarmente, se fixarmos , obtemos:
Isso também representa duas linhas retas com inclinação e . Esses cortes indicam que a superfície se expande mais rapidamente ao aumentar do que ao aumentar .

Passo 6

Para obter uma visão mais completa, vamos considerar que a função representa um semi-cone. Um cone padrão tem a forma , onde e determinam a “apertura” do cone. No nosso caso, e , indicando que o cone é mais “estreito” na direção de e mais “largo” na direção de .

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico. O gráfico será um semi-cone com a ponta no ponto , abrindo-se para cima. As inclinações nas direções e serão diferentes devido aos coeficientes da função, resultando em um cone onde a largura aumenta mais lentamente na direção de do que na direção de .

Resposta

O gráfico da função é um semi-cone com vértice na origem, abrindo-se para cima, mais estreito na direção do eixo e mais amplo na direção do eixo .

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