Esboce o gráfico das funções
e
no mesmo sistemas de coordenadas cartesianas:
com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para desenhar os gráficos das funções
e
no mesmo sistema de coordenadas. A função
é a inversa de
, ou seja,
. Já
. Vamos precisar entender o que são funções inversas e funções exponenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função exponencial onde a base é 3. Ela cresce rapidamente conforme
aumenta. Agora, a função inversa
troca os papéis de
e
. Então, se
, a inversa será
, que podemos resolver para
como
. Assim,
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. Essa também é uma função exponencial, mas com um expoente negativo. Isso faz com que a função decaia conforme
aumenta. Podemos reescrever
como
para facilitar a visualização.
Passo 4
Vamos identificar os principais pontos e comportamentos dessas funções para esboçar os gráficos.
Para
:
- Domínio:
(Não podemos ter logaritmo de zero ou negativo) - Imagem: Todos os números reais
- Intercepto: Quando
, , então o ponto (1, 0) - Assíntota vertical:
Para
:
- Domínio: Todos os números reais
- Imagem:
(Sempre positivo) - Intercepto: Quando
, , então o ponto (0, 1) - Assíntota horizontal:
Passo 5
Agora, juntando tudo no mesmo sistema de coordenadas:
-
: Passa pelo ponto (1, 0), cresce lentamente para a direita e tem uma assíntota vertical em . -
: Passa pelo ponto (0, 1), decresce rapidamente para a direita e se aproxima da assíntota horizontal conforme aumenta.
Resposta
Os gráficos de
e
estão desenhados no mesmo sistema de coordenadas, mostrando que
cresce lentamente a partir do ponto (1, 0) com uma assíntota vertical em
, enquanto
decresce rapidamente a partir do ponto (0, 1) e se aproxima da assíntota horizontal
.
Exercícios relacionados
Resolva, em
, as seguintes equações:
Na expansão de
encontramos a expressão
. Determine
.
Sabe-se que um artefato de madeira de uma tumba contém
do carbono-14 presente na madeira de árvores vivas. Há quantos anos a árvore de onde foi retirada a madeira utilizada para a fabricação desse artefato foi cortada? (A meia vida do carbono-14 é 5730 anos).
Determine o domínio máximo das seguin-
tes funções:
tes funções: