Esboce o gráfico das funções f(x) e g(x) no mesmo sistemas de coordenadas cartesianas:
f(x) = h^(-1)(x) com h(x) = 3^x e g(x) = 3^(-x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para desenhar os gráficos das funções e no mesmo sistema de coordenadas. A função é a inversa de , ou seja, . Já . Vamos precisar entender o que são funções inversas e funções exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função exponencial onde a base é 3. Ela cresce rapidamente conforme aumenta. Agora, a função inversa troca os papéis de e . Então, se , a inversa será , que podemos resolver para como . Assim, .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . Essa também é uma função exponencial, mas com um expoente negativo. Isso faz com que a função decaia conforme aumenta. Podemos reescrever como para facilitar a visualização.

Passo 4

Vamos identificar os principais pontos e comportamentos dessas funções para esboçar os gráficos.
Para :
  • Domínio: (Não podemos ter logaritmo de zero ou negativo)
  • Imagem: Todos os números reais
  • Intercepto: Quando , , então o ponto (1, 0)
  • Assíntota vertical:
Para :
  • Domínio: Todos os números reais
  • Imagem: (Sempre positivo)
  • Intercepto: Quando , , então o ponto (0, 1)
  • Assíntota horizontal:

Passo 5

Agora, juntando tudo no mesmo sistema de coordenadas:
  • : Passa pelo ponto (1, 0), cresce lentamente para a direita e tem uma assíntota vertical em .
  • : Passa pelo ponto (0, 1), decresce rapidamente para a direita e se aproxima da assíntota horizontal conforme aumenta.

Resposta

Os gráficos de e estão desenhados no mesmo sistema de coordenadas, mostrando que cresce lentamente a partir do ponto (1, 0) com uma assíntota vertical em , enquanto decresce rapidamente a partir do ponto (0, 1) e se aproxima da assíntota horizontal .

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