Na expansão de log(raiz_cubica((x^2 * y^3) / 25)) encontramos a expressão log y + (2/3) * (log x - 1) + alpha * log 2. Determine alpha.

Passo 1

Então, a gente tem a expressão log(raiz_cubica((x^2 * y^3) / 25)) que, quando expandida, resulta em . Nosso objetivo aqui é descobrir o valor de alpha. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos logaritmos e manipular a expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão original. Sabemos que , então podemos reescrever o logaritmo como:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz , temos:

Passo 4

Em seguida, aplicamos a propriedade para simplificar cada termo:

Passo 5

Distribuindo o 1/3 para cada termo dentro dos parênteses:

Passo 6

Sabemos que , então . Substituindo isso na expressão:

Passo 7

Agora, usamos a identidade . Como , temos:
Substituindo de volta na expressão:

Passo 8

Distribuindo o 2/3 no último termo:

Passo 9

Agora, comparando com a expressão dada , vemos que:

Resposta

Então, .

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