Esboce o gráfico das funções a seguir e determine seu conjunto imagem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função definida por partes e determinar o seu conjunto imagem. Vamos trabalhar com funções definidas por partes, que são aquelas que têm diferentes expressões matemáticas dependendo do valor de . Para resolver, vamos analisar cada parte da função, desenhar seus gráficos e depois ver quais são os possíveis valores de , ou seja, o conjunto imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada parte da função:
Isso significa que a função se comporta de maneira diferente em três intervalos de .
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte: para .
Função linear: Essa é uma linha reta com inclinação e intercepto .
Gráfico: Como , vamos desenhar essa reta apenas para os valores de negativos.
Pontos de referência:
Quando :
Quando :
Passo 4
Agora, a segunda parte: para .
Função constante: Aqui, sempre vale , independente do .
Gráfico: Uma linha horizontal no valor , entre e .
Pontos de referência:
Começa em com
Termina antes de , ainda com
Passo 5
Por fim, a terceira parte: para .
Função linear: Linha reta com inclinação e intercepto .
Gráfico: Desenhamos essa reta para maiores ou iguais a .
Pontos de referência:
Quando :
Quando :
Passo 6
Agora, vamos juntar tudo no gráfico:
Para : Linha reta descendo de para a esquerda.
Para : Linha horizontal em .
Para : Linha reta subindo a partir de .
Lembre-se de usar círculos fechados ou abertos para indicar se o ponto está incluído ou não no intervalo.
Passo 7
Com o gráfico desenhado, vamos determinar o conjunto imagem, que são todos os valores que pode assumir.
Primeira parte (): . À medida que vai para , vai para . E em , . Então, os valores vão de até .
Segunda parte (): . Aqui, só é igual a .
Terceira parte (): . Em , , e à medida que aumenta, também aumenta sem limite, indo até .
Resposta
O gráfico da função é uma combinação de três segmentos: