Esboce o gráfico das funções a seguir e determine seu conjunto imagem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função definida por partes e determinar o seu conjunto imagem. Vamos trabalhar com funções definidas por partes, que são aquelas que têm diferentes expressões matemáticas dependendo do valor de . Para resolver, vamos analisar cada parte da função, desenhar seus gráficos e depois ver quais são os possíveis valores de , ou seja, o conjunto imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada parte da função:
Isso significa que a função se comporta de maneira diferente em três intervalos de .

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: para .
  • Função linear: Essa é uma linha reta com inclinação e intercepto .
  • Gráfico: Como , vamos desenhar essa reta apenas para os valores de negativos.
  • Pontos de referência:
    • Quando :
    • Quando :

Passo 4

Agora, a segunda parte: para .
  • Função constante: Aqui, sempre vale , independente do .
  • Gráfico: Uma linha horizontal no valor , entre e .
  • Pontos de referência:
    • Começa em com
    • Termina antes de , ainda com

Passo 5

Por fim, a terceira parte: para .
  • Função linear: Linha reta com inclinação e intercepto .
  • Gráfico: Desenhamos essa reta para maiores ou iguais a .
  • Pontos de referência:
    • Quando :
    • Quando :

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo no gráfico:
  1. Para : Linha reta descendo de para a esquerda.
  2. Para : Linha horizontal em .
  3. Para : Linha reta subindo a partir de .
Lembre-se de usar círculos fechados ou abertos para indicar se o ponto está incluído ou não no intervalo.

Passo 7

Com o gráfico desenhado, vamos determinar o conjunto imagem, que são todos os valores que pode assumir.
  • Primeira parte ( ): . À medida que vai para , vai para . E em , . Então, os valores vão de até .
  • Segunda parte ( ): . Aqui, só é igual a .
  • Terceira parte ( ): . Em , , e à medida que aumenta, também aumenta sem limite, indo até .

Resposta

O gráfico da função é uma combinação de três segmentos:
  1. Uma reta descendente para .
  2. Uma linha horizontal em para .
  3. Uma reta ascendente para .
O conjunto imagem da função é:

Exercícios relacionados

Uma fábrica de bicicletas possui um custo fixo de mais um custo variável de por bicicleta produzida. O preço de venda de cada bicicleta é igual a . Determine a função lucro e o número de bicicletas a serem vendidas para que o lucro seja igual a .
Determine o domínio das seguintes funções:
Dados os conjuntos e qual das seguintes leis define uma função de em ?
Seja uma função real definida por . Determine: