Esboce o gráfico das funções a seguir e determine seu conjunto imagem:
g(x) = { 3 se x ≥ 0, -x + 1 se x < 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função definida por partes e descobrir qual é o seu conjunto imagem. A matéria envolvida aqui é o estudo de funções, mais especificamente funções definidas por partes. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como elas se juntam no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função para . Nessa parte, . Isso significa que, para qualquer valor de que seja zero ou maior, sempre será 3. No gráfico, isso será representado por uma linha horizontal no nível para .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte da função quando . Aqui, . Essa é uma função linear, onde o coeficiente de é -1 e o termo constante é 1. A inclinação da reta é negativa, o que significa que a reta desce à medida que aumenta. Vamos determinar alguns pontos para desenhar essa reta:
  • Quando :
    Então, o ponto é .
  • Quando :
    Então, o ponto é .

Passo 4

Agora, vamos juntar as duas partes no gráfico:
  • Para , temos uma linha horizontal em , começando de em diante.
  • Para , temos a reta que passa pelos pontos e .
No ponto , há uma descontinuidade, já que para , , mas o limite pela esquerda é .

Passo 5

Com o gráfico em mente, vamos determinar o conjunto imagem da função . O conjunto imagem é o conjunto de todos os valores possíveis que pode assumir.
  • Para , . Então, o valor está no conjunto imagem.
  • Para , . Como se torna mais negativo, aumenta, então aumenta sem limite. Além disso, quando se aproxima de 0 pela esquerda, se aproxima de .
Portanto, para , pode ser qualquer número maior que .

Resposta

O conjunto imagem da função é .

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