Esboce o gráfico das funções a seguir e determine seu conjunto imagem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função
definida por partes e descobrir qual é o seu conjunto imagem. A matéria envolvida aqui é o estudo de funções, mais especificamente funções definidas por partes. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como elas se juntam no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função para
. Nessa parte,
. Isso significa que, para qualquer valor de
que seja zero ou maior,
sempre será 3. No gráfico, isso será representado por uma linha horizontal no nível
para
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a parte da função quando
. Aqui,
. Essa é uma função linear, onde o coeficiente de
é -1 e o termo constante é 1. A inclinação da reta é negativa, o que significa que a reta desce à medida que
aumenta. Vamos determinar alguns pontos para desenhar essa reta:
-
Quando
: Então, o ponto é. -
Quando
: Então, o ponto é.
Passo 4
Agora, vamos juntar as duas partes no gráfico:
- Para
, temos uma linha horizontal em , começando de em diante. - Para
, temos a reta que passa pelos pontos e .
No ponto
, há uma descontinuidade, já que para
,
, mas o limite pela esquerda é
.
Passo 5
Com o gráfico em mente, vamos determinar o conjunto imagem da função
. O conjunto imagem é o conjunto de todos os valores possíveis que
pode assumir.
- Para
, . Então, o valor está no conjunto imagem. - Para
, . Como se torna mais negativo, aumenta, então aumenta sem limite. Além disso, quando se aproxima de 0 pela esquerda, se aproxima de .
Portanto, para
,
pode ser qualquer número maior que
.
Resposta
O conjunto imagem da função
é
.