Resolva as integrais utilizando o método da integração por substituição:
Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas trocando parte da expressão por uma nova variável. Vamos precisar identificar uma parte da integral que, se substituída, facilita a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a raiz quadrada. Observando , faz sentido chamar o que está dentro da raiz de uma nova variável. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o . Derivando ambos os lados:
Isso implica que:
Então, podemos resolver para :

Passo 4

Vamos substituir e na integral original. A integral fica:
Simplificando os coeficientes:
Então:

Passo 5

Agora, resolvemos a integral em termos de . Sabemos que:
Aplicando isso:

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo :
Podemos escrever a raiz como uma potência fracionária para combinar com a resposta fornecida.

Resposta

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Esboce o gráfico das funções a seguir e determine seu conjunto imagem:
O custo de produção de determinada mercadoria é dado por um custo fixo de , que inclui despesas como salário, energia elétrica, água e impostos mais um custo variável de por peça produzida. Considerando a receita
da mercadoria, isto é, o preço de venda seja de , determine a função lucro dessa mercadoria.
Resolva as integrais utilizando o método da integração por substituição:
Resolva as integrais utilizando o método da integração por substituição:
Resp.: