Resolva as integrais utilizando o método da integração por substituição:
integral 8 x raiz5-x^2 d x Resp.: -83 raiz(5-x^2)^3+c

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas trocando parte da expressão por uma nova variável. Vamos precisar identificar uma parte da integral que, se substituída, facilita a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a raiz quadrada. Observando u = 5 - x^2 , faz sentido chamar o que está dentro da raiz de uma nova variável. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -2x em relação a du = -2x , dx para substituir o x , dx = -12 du . Derivando ambos os lados:
Isso implica que:
Então, podemos resolver para :

Passo 4

Vamos substituir integral 8x raiz5 - x^2 , dx = integral 8 cdot raizu cdot (-12 du) e 8 cdot (-12) = -4 na integral original. A integral fica:
-4 integral raizu , du
Simplificando os coeficientes:
Então:

Passo 5

Agora, resolvemos a integral em termos de integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C . Sabemos que:
-4 cdot 23 u^3/2 + C = -83 u^3/2 + C
Aplicando isso:

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original -83 (5 - x^2)^3/2 + C substituindo :
Podemos escrever a raiz como uma potência fracionária para combinar com a resposta fornecida.

Resposta

-83 raiz(5 - x^2)^3 + C

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