Resolva as integrais utilizando o método da integração por substituição:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a integral
. O conteúdo que vamos usar aqui é integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas trocando parte da expressão por uma nova variável. Vamos precisar identificar uma parte da integral que, se substituída, facilita a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a raiz quadrada. Observando
, faz sentido chamar o que está dentro da raiz de uma nova variável. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir o
. Derivando ambos os lados:
Isso implica que:
Então, podemos resolver para
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original. A integral fica:
Simplificando os coeficientes:
Então:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral em termos de
. Sabemos que:
Aplicando isso:
Passo 6
Finalmente, voltamos à variável original
substituindo
:
Podemos escrever a raiz como uma potência fracionária para combinar com a resposta fornecida.