Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos a função e queremos estudar sua concavidade e identificar possíveis pontos de inflexão. Concavidade está relacionada com a “curvatura” da função, e pontos de inflexão são onde essa curvatura muda. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada de . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto. Para , usamos a regra da cadeia para derivar:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:

Passo 4

Com a segunda derivada , vamos analisar a concavidade. Se , a função é côncava para cima; se , é côncava para baixo.
Sabemos que é sempre positivo para qualquer valor de . Portanto:

Passo 5

Como a segunda derivada é sempre positiva, concluímos que a função é côncava para cima em todo o seu domínio. Além disso, como a concavidade não muda, não existem pontos de inflexão na função.

Resposta

A função é côncava para cima em todo o seu domínio e não possui pontos de inflexão.

Exercícios relacionados

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
Para as funções dadas a seguir, pede-se:
i) Verifique as condições do Teorema do Valor Médio.
ii) Determine os correspondentes à conclusão do teorema.
, no intervalo
Esboce o gráfico das funções a seguir:
Determine a derivada de cada função a seguir.