Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos a função
e queremos estudar sua concavidade e identificar possíveis pontos de inflexão. Concavidade está relacionada com a “curvatura” da função, e pontos de inflexão são onde essa curvatura muda. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função.
Passo 2
Vamos começar encontrando a primeira derivada de
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto. Para
, usamos a regra da cadeia para derivar:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:
Passo 4
Com a segunda derivada
, vamos analisar a concavidade. Se
, a função é côncava para cima; se
, é côncava para baixo.
Sabemos que
é sempre positivo para qualquer valor de
. Portanto:
Passo 5
Como a segunda derivada é sempre positiva, concluímos que a função
é côncava para cima em todo o seu domínio. Além disso, como a concavidade não muda, não existem pontos de inflexão na função.
Resposta
A função
é côncava para cima em todo o seu domínio e não possui pontos de inflexão.
Exercícios relacionados
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
Para as funções dadas a seguir, pede-se:
i) Verifique as condições do Teorema do Valor Médio.
ii) Determine os correspondentes à conclusão do teorema.
, no intervalo
i) Verifique as condições do Teorema do Valor Médio.
ii) Determine os
Esboce o gráfico das funções a seguir:
Determine a derivada de cada função a seguir.