Esboce o gráfico das funções a seguir:
(a) f(x) = |x| + 1
(b) f(x) = |x + 1|
© f(x) = x |x|
(d) f(x) = -|2x + 8|
(e) f(x) = x / |x|
(f) f(x)=||x-1|-1|
(g) f(x) = |||x - 1| - 1| - 1|
(h) f(x) = |2x + 1| + |x - 1|

Passo 1

Vamos começar com a função . O enunciado pede para esboçar o gráfico dessa função. Estamos lidando com funções de valor absoluto, que são parte da matemática estudada em álgebra. Para resolver, precisamos entender como o valor absoluto afeta o gráfico de uma função linear básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa a distância de até zero na reta numérica. O gráfico de forma um “V” com o vértice na origem (0,0).

Passo 3

Agora, ao adicionar 1 à função , estamos deslocando todo o gráfico para cima em 1 unidade. Assim, o vértice do “V” passa a estar em (0,1).

Passo 4

Agora vamos para a função . Novamente, estamos trabalhando com valor absoluto. Precisamos esboçar o gráfico dessa função.

Passo 5

A função básica tem seu gráfico em forma de “V” com vértice na origem. Quando temos , isso significa que o gráfico será deslocado horizontalmente.

Passo 6

O termo dentro do valor absoluto indica que o gráfico se move 1 unidade para a esquerda. Portanto, o vértice do “V” estará em (-1,0).

Passo 7

Vamos esboçar . Essa função mistura valor absoluto com uma função linear, então precisamos analisar como combinar esses elementos.

Passo 8

Primeiro, note que é igual a quando e a quando . Portanto, podemos reescrever a função por partes.

Passo 9

Para :
Para :

Passo 10

Agora, vamos para . Estamos lidando com valor absoluto multiplicado por -1 e com um fator de escala no interior.

Passo 11

Primeiro, considere a função . O gráfico básico será esticado verticalmente por 2 e deslocado horizontalmente.

Passo 12

Para encontrar o vértice, resolvemos , ou seja, . Então, o vértice está em (-4,0). Multiplicando por -1, o “V” será invertido, abrindo para baixo.

Passo 13

Vamos esboçar . Essa função envolve uma divisão com valor absoluto no denominador.

Passo 14

Primeiro, note que está definido para todos os exceto . Ela essencialmente analisa o sinal de .

Passo 15

Para :
Para :

Passo 16

Agora, vamos para . Esta função aninhada envolve múltiplos valores absolutos.

Passo 17

Primeiro, analise . Vamos encontrar onde essa expressão muda de comportamento.

Passo 18

Resolva :
Então, precisamos analisar intervalos: , , e .

Passo 19

Para cada intervalo:
  • :
  • : Assim, se torna:
  • :

Passo 20

Assim, a função resulta em:

Passo 21

Vamos esboçar . Esta é uma função com três camadas de valor absoluto.

Passo 22

Primeiro, resolvemos a parte interna . Já vimos como resolver duas camadas de valor absoluto no item (f).

Passo 23

Usando o resultado de (f):
Agora, subtraímos 1:

Passo 24

Aplicando o valor absoluto novamente:

Passo 25

Analisando cada caso:
  • Para :
  • Para :
  • Para : Resolvendo :
    • Se ( ):
    • Se ( ):
    Então:

Passo 26

Finalmente, vamos esboçar . Essa função é a soma de dois valores absolutos, então precisamos analisar cada parte.

Passo 27

Primeiro, identifique os pontos onde cada valor absoluto muda de expressão:
  • Para , a mudança ocorre em
  • Para , a mudança ocorre em

Passo 28

Dividimos a linha dos números em intervalos baseados nesses pontos: , , e . Em cada intervalo, removemos os valores absolutos conforme o sinal.

Passo 29

Para cada intervalo:
  • :
  • :
  • :

Passo 30

Agora, esboçamos cada parte:
  • Para : reta com inclinação -3
  • Para : reta com inclinação 1
  • Para : reta com inclinação 3

Resposta

O gráfico de é composto por três retas:
  • para
  • para
  • para

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