Verifique se cada passo na solução das inequações a seguir está correto:
(a) (5x + 3)/(2x + 1) > 2 <=> 5x + 3 > 4x + 2 <=> x > -1.
(b) (2x^2 + x) / (x^2 + 1) < 2 ↔ 2x^2 + x < 2x^2 + 2 ↔ x < 2.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício (a). A questão nos pede para verificar se cada passo da solução da inequação está correto. A inequação original é:
Aqui, estamos lidando com inequações racionais, que envolvem frações onde o numerador e o denominador são expressões algébricas. Para resolver esse tipo de inequação, precisamos garantir que o denominador não seja zero e lembrar que multiplicar ou dividir por uma expressão que pode ser negativa pode inverter o sinal da desigualdade.

Passo 2

O próximo passo na solução é:
Para chegar aqui, multiplicamos ambos os lados da inequação original pelo denominador . Mas é importante lembrar que, como pode ser positivo ou negativo, precisamos considerar dois casos:
  1. Se , multiplicar não muda o sentido da desigualdade.
  2. Se , multiplicar inverte o sentido da desigualdade.
No entanto, na solução apresentada, parece que assumiram que sem considerar o outro caso. Portanto, o passo está parcialmente correto, mas falta a verificação do sinal de .

Passo 3

A solução prossegue com:
Aqui, subtraímos de ambos os lados e depois subtraímos 2:
Este passo está correto, assumindo que .

Passo 4

Considerando que não foram analisados os dois casos para o denominador, a solução apresentada está incompleta. Para estar totalmente correta, deveriam verificar também o caso em que , o que poderia levar a uma solução diferente.

Passo 5

Agora, vamos verificar o exercício (b). A inequação dada é:
Aqui, também temos uma inequação racional. Como o denominador é sempre positivo (já que e adicionando 1, nunca será zero), podemos multiplicar ambos os lados sem se preocupar em inverter o sinal da desigualdade.

Passo 6

A solução apresenta o seguinte passo:
Multiplicando ambos os lados por mantemos o sentido da inequação porque . Portanto, este passo está correto.

Passo 7

A próxima simplificação é:
Subtraindo de ambos os lados:
Este passo está correto e a solução final é .

Resposta

  • No exercício (a), a solução apresentada está incompleta por não considerar todos os casos do denominador, tornando-a parcialmente correta.
  • No exercício (b), todos os passos estão corretos.

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