Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem

Passo 1

Beleza! A gente vai fazer o gráfico da função . Vamos identificar onde ela é crescente, decrescente ou constante, e também descobrir o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre logaritmos e como eles se comportam, além de aplicar derivadas para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O logaritmo natural só está definido quando . Então, para , precisamos que .

Passo 3

Resolvendo a inequação , temos:
Então, o domínio de é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem da função. Sabemos que pode variar de a quando varia no domínio. Porém, como há um sinal negativo na frente, vai variar de a .
Então, a imagem é:

Passo 5

Para identificar onde a função é crescente ou decrescente, vamos calcular a derivada de . A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se está subindo ou descendo.
Vamos derivar :

Passo 6

Agora, analisamos o sinal da derivada .
  • Quando (ou seja, ), é positivo, então é negativo.
  • Não há pontos onde a derivada é zero, pois nunca será zero.
Isso significa que a função é sempre decrescente no seu domínio.

Passo 7

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função :
  • A função tem uma assíntota vertical em .
  • Como é decrescente, começa em quando se aproxima de pela direita e vai descendo até conforme aumenta.

Resposta

A função tem domínio e imagem . Ela é sempre decrescente no seu domínio. O gráfico apresenta uma assíntota vertical em e desce continuamente de a .

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