Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem
Passo 1
Beleza! A gente vai fazer o gráfico da função
. Vamos identificar onde ela é crescente, decrescente ou constante, e também descobrir o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre logaritmos e como eles se comportam, além de aplicar derivadas para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O logaritmo natural
só está definido quando
. Então, para
, precisamos que
.
Passo 3
Resolvendo a inequação
, temos:
Então, o domínio de
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem da função. Sabemos que
pode variar de
a
quando
varia no domínio. Porém, como há um sinal negativo na frente,
vai variar de
a
.
Então, a imagem é:
Passo 5
Para identificar onde a função é crescente ou decrescente, vamos calcular a derivada de
. A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se está subindo ou descendo.
Vamos derivar
:
Passo 6
Agora, analisamos o sinal da derivada
.
- Quando
(ou seja, ), é positivo, então é negativo. - Não há pontos onde a derivada é zero, pois
nunca será zero.
Isso significa que a função é sempre decrescente no seu domínio.
Passo 7
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
:
- A função tem uma assíntota vertical em
. - Como é decrescente, começa em
quando se aproxima de pela direita e vai descendo até conforme aumenta.
Resposta
A função
tem domínio
e imagem
. Ela é sempre decrescente no seu domínio. O gráfico apresenta uma assíntota vertical em
e desce continuamente de
a
.
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Esboce o gráfico das funções:
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Sejam
um inteiro positivo e
um número real. Mostre que