Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de funções! A gente precisa fazer o gráfico da função , identificar onde ela está aumentando, diminuindo ou constante, e também descobrir o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dentro do valor absoluto: . Essa é uma função quadrática que pode ser expandida para . O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Vamos achar as raízes dessa parábola, ou seja, quando e . Assim, as raízes são e .

Passo 3

Como temos o valor absoluto, o gráfico da função vai refletir as partes da parábola que estão abaixo do eixo x para cima. Isso significa que todos os valores de serão positivos ou zero.

Passo 4

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Primeiro, observamos que a parábola original tem um vértice que indica onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Com o valor absoluto, essas mudanças também se refletem.

Passo 5

Vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como não há restrições de raiz ou divisão por zero, o domínio é todos os números reais: .

Passo 6

A imagem da função é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como estamos trabalhando com valores absolutos, o mínimo valor de é 0 e não há um limite superior, então a imagem é .

Passo 7

Para desenhar o gráfico, plotamos os pontos chave nas raízes e , e refletimos a parte negativa da parábola para cima. Assim, teremos uma parábola “dobrada” no eixo x, permanecendo sempre acima ou na linha do eixo.

Resposta

O gráfico de é uma parábola refletida no eixo y, com domínio e imagem . A função é crescente nos intervalos e , e decrescente no intervalo . Não há intervalos onde a função é constante.

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