Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de funções! A gente precisa fazer o gráfico da função
, identificar onde ela está aumentando, diminuindo ou constante, e também descobrir o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dentro do valor absoluto:
. Essa é uma função quadrática que pode ser expandida para
. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Vamos achar as raízes dessa parábola, ou seja, quando
e
. Assim, as raízes são
e
.
Passo 3
Como temos o valor absoluto, o gráfico da função
vai refletir as partes da parábola que estão abaixo do eixo x para cima. Isso significa que todos os valores de
serão positivos ou zero.
Passo 4
Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Primeiro, observamos que a parábola original
tem um vértice que indica onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Com o valor absoluto, essas mudanças também se refletem.
Passo 5
Vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como não há restrições de raiz ou divisão por zero, o domínio é todos os números reais:
.
Passo 6
A imagem da função é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Como estamos trabalhando com valores absolutos, o mínimo valor de
é 0 e não há um limite superior, então a imagem é
.
Passo 7
Para desenhar o gráfico, plotamos os pontos chave nas raízes
e
, e refletimos a parte negativa da parábola para cima. Assim, teremos uma parábola “dobrada” no eixo x, permanecendo sempre acima ou na linha do eixo.
Resposta
O gráfico de
é uma parábola refletida no eixo y, com domínio
e imagem
. A função é crescente nos intervalos
e
, e decrescente no intervalo
. Não há intervalos onde a função é constante.
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Esboce o gráfico das funções:
Sejam
um inteiro positivo e
um número real. Mostre que
Suponha que
seja uma função que satisfaça a equação
para todos os números reais
e
. Suponha também que
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