Esboce o gráfico das funçõs abaixo justificando cada etapa: f(x) = -x^2 + 2x + 1

Passo 1

Vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função quadrática . Esse tipo de função pertence à matéria de Álgebra, mais especificamente ao estudo de funções quadráticas. Para resolver, vamos precisar identificar características importantes da parábola, como o vértice, as raízes, o eixo de simetria e o ponto de interseção com o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a parábola está voltada para cima ou para baixo. Observando o coeficiente de , que é , percebemos que é negativo. Isso significa que a parábola está voltada para baixo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o eixo de simetria da parábola. A fórmula para encontrar o eixo de simetria em uma função quadrática é . No nosso caso, e .
Então, o eixo de simetria é a reta .

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto onde a função atinge seu valor máximo ou mínimo. Usamos o eixo de simetria para encontrar a coordenada :
Portanto, o vértice está no ponto .

Passo 5

Vamos determinar as raízes da função, ou seja, os valores de para os quais . Resolvemos a equação:
Multiplicando todos os termos por para facilitar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e .

Passo 6

Vamos encontrar o ponto de interseção com o eixo substituindo na função:
Portanto, a parábola intercepta o eixo no ponto .

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A parábola está voltada para baixo.
  • Tem um vértice em .
  • O eixo de simetria é .
  • As raízes são aproximadamente e .
  • Intersecta o eixo em .
Tra��ando esses pontos e desenhando a parábola que passa por eles, respeitando a simetria em relação ao eixo , conseguimos esboçar o gráfico da função.

Resposta

O gráfico da função é uma parábola voltada para baixo, com vértice no ponto , eixo de simetria em , raízes aproximadas em e , e intercepta o eixo no ponto . Com esses pontos, podemos desenhar o esboço da parábola de forma precisa.

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