Esboce o gráfico das funçõs abaixo justificando cada etapa:

Passo 1

Beleza, vamos esboçar o gráfico da função . Essa questão envolve o estudo de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para esboçar o gráfico, vamos precisar analisar pontos importantes como domínio, interceptações, assíntotas e comportamento da função para valores grandes de .

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero.
Como sempre é positivo ou zero, não existe valor real de que satisfaça essa equação. Portanto, o domínio é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos. Primeiro, a interceptação com o eixo ocorre quando .
Então, a função corta o eixo no ponto .
Para encontrar a interceptação com o eixo , resolvemos :
Isso só ocorre quando o numerador é zero:
Não existe solução real para essa equação, então a função não intercepta o eixo .

Passo 4

Vamos investigar as assíntotas da função. Assíntotas horizontais ocorrem quando tende para ou . Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
No nosso caso, ambos os polinômios têm grau 2:
Então, a função tem uma assíntota horizontal em .
Não há assíntotas verticais porque o denominador nunca é zero.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função em valores grandes de para confirmar a assíntota:
Para muito grande ou muito pequeno,
Isso confirma que o gráfico se aproxima da linha conforme cresce em magnitude.

Passo 6

Vamos verificar a simetria da função. Se a função for par, ímpar ou nenhuma das duas.
Substituindo em :
Como , a função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo .

Passo 7

Finalmente, vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
  • Domínio: Todos os números reais.
  • Interceptação com : .
  • Interceptação com : Não existem.
  • Assíntota horizontal: .
  • Simetria: Simétrica em relação ao eixo .
Com base nisso, o gráfico será uma curva suave que passa pelo ponto , se aproxima da linha conforme vai para ou , e é simétrica em relação ao eixo .

Resposta

O gráfico da função é uma curva simétrica em relação ao eixo , que intercepta o eixo no ponto , se aproxima da assíntota horizontal para valores grandes de e não intercepta o eixo .

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