Esboce o gráfico das funçõs abaixo justificando cada etapa:
Passo 1
Beleza, vamos esboçar o gráfico da função
. Essa questão envolve o estudo de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para esboçar o gráfico, vamos precisar analisar pontos importantes como domínio, interceptações, assíntotas e comportamento da função para valores grandes de
.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero.
Como
sempre é positivo ou zero, não existe valor real de
que satisfaça essa equação. Portanto, o domínio é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos. Primeiro, a interceptação com o eixo
ocorre quando
.
Então, a função corta o eixo
no ponto
.
Para encontrar a interceptação com o eixo
, resolvemos
:
Isso só ocorre quando o numerador é zero:
Não existe solução real para essa equação, então a função não intercepta o eixo
.
Passo 4
Vamos investigar as assíntotas da função. Assíntotas horizontais ocorrem quando
tende para
ou
. Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
No nosso caso, ambos os polinômios têm grau 2:
Então, a função tem uma assíntota horizontal em
.
Não há assíntotas verticais porque o denominador nunca é zero.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função em valores grandes de
para confirmar a assíntota:
Para
muito grande ou muito pequeno,
Isso confirma que o gráfico se aproxima da linha
conforme
cresce em magnitude.
Passo 6
Vamos verificar a simetria da função. Se a função for par, ímpar ou nenhuma das duas.
Substituindo
em
:
Como
, a função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo
.
Passo 7
Finalmente, vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
- Domínio: Todos os números reais.
- Interceptação com
: . - Interceptação com
: Não existem. - Assíntota horizontal:
. - Simetria: Simétrica em relação ao eixo
.
Com base nisso, o gráfico será uma curva suave que passa pelo ponto
, se aproxima da linha
conforme
vai para
ou
, e é simétrica em relação ao eixo
.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva simétrica em relação ao eixo
, que intercepta o eixo
no ponto
, se aproxima da assíntota horizontal
para valores grandes de
e não intercepta o eixo
.
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