Esboce o gráfico de à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa desenhar o gráfico da função para valores de menores que 3. Depois, com o desenho em mãos, vamos identificar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos, tanto locais quanto absolutos. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções lineares e transformações básicas que aprendemos nas Seções 1.2 e 1.3.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função linear, que tem a forma , onde é o coeficiente angular (a inclinação) e é o coeficiente linear (o ponto onde o gráfico cruza o eixo y). Aqui, e .

Passo 3

Como é positivo, sabemos que a reta é crescente. Ou seja, conforme aumenta, também aumenta. Como a função só está definida para , precisamos ver o comportamento da função até esse ponto.

Passo 4

Vamos calcular o valor de quando se aproxima de 3 por valores menores:
Então, conforme se aproxima de 3, se aproxima de 4.

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando diminui sem limite, ou seja, quando vai para menos infinito:
Isso significa que conforme fica cada vez menor, diminui sem limite.

Passo 6

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico: uma reta inclinada positivamente que começa indo para menos infinito e se aproxima do ponto (3, 4) sem chegar nele, pois .

Passo 7

Agora, vamos identificar os valores máximos e mínimos. Como a função é crescente e está definida para , o valor máximo absoluto é o limite quando se aproxima de 3, que é 4. Não há mínimo absoluto, pois a função pode diminuir indefinidamente conforme diminui. Também não há valores máximos ou mínimos locais, já que a função é monotonicamente crescente.

Resposta

A função tem um valor máximo absoluto igual a 4 quando se aproxima de 3, e não possui valor mínimo absoluto.

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Encontre os números críticos da função. - arsen: