Esboce o gráfico de à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.)

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função no intervalo . A gente vai usar conhecimentos de gráficos de funções trigonométricas e suas transformações para identificar os pontos máximos e mínimos, tanto locais quanto absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico da função seno. No intervalo completo de a , a função seno começa em 0, sobe até 1 em , desce de volta a 0 em , vai a -1 em e retorna a 0 em .

Passo 3

Como estamos focando apenas no intervalo , vamos olhar só para a parte do gráfico onde vai de pouco mais que 0 até . Nesse intervalo, a função seno está aumentando continuamente.

Passo 4

No ponto , que está excluído do intervalo, . Já no ponto , . Então, ao esboçar o gráfico, a função começa próxima de 0 e vai aumentando até chegar em 1.

Passo 5

Agora, para identificar os valores máximos e mínimos:
  • Máximo absoluto: É o maior valor que a função atinge no intervalo. Aqui, atinge o valor máximo de 1 em .
  • Mínimo absoluto: É o menor valor que a função atinge no intervalo. Como não está incluído, o valor mínimo mais próximo de 0 não é realmente alcançado no intervalo dado.
  • Máximos e mínimos locais: São pontos onde a função atinge um pico ou um vale em relação aos pontos próximos. No nosso caso, como a função está sempre aumentando no intervalo, não há máximos ou mínimos locais dentro dele, apenas o máximo absoluto no final.

Resposta

O gráfico de no intervalo apresenta um aumento contínuo de 0 até 1. Portanto:
  • Máximo absoluto:
  • Mínimo absoluto: Não existe no intervalo, já que se aproxima de 0 mas não o atinge.
  • Máximos e mínimos locais: Não há pontos de máximo ou mínimo locais dentro deste intervalo.

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