Esboce o gráfico de e mostre o sentido crescente de .
30.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um vetor posição que depende de um parâmetro . O exercício pede para a gente desenhar o gráfico desse vetor e mostrar como ele se comporta quando aumenta. Para fazer isso, vamos precisar entender como funciona o gráfico de um vetor posição e como representar seus componentes no plano cartesiano. Então, nossa missão é decompor em suas partes e , e depois analisar como essas partes mudam com .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função vetorial que temos:
Aqui, é a componente na direção do eixo (representada por ) e é a componente na direção do eixo (representada por ). Isso significa que para cada valor de , temos um ponto no plano onde e .

Passo 3

Agora, vamos entender o que acontece com e quando aumenta. A função cresce, mas de forma mais lenta à medida que fica maior. Já a função cresce de maneira linear, ou seja, de forma contínua e constante com o aumento de . Portanto, conforme aumenta, tanto quanto aumentam, mas cresce mais rápido que .

Passo 4

Para esboçar o gráfico, podemos calcular alguns pontos para diferentes valores de . Vamos escolher alguns valores de e ver onde o vetor está:
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:
Com esses pontos, a gente vê que conforme aumenta, os pontos se afastam do eixo e sobem no eixo , criando uma curva que sobe para a direita.

Passo 5

Finalmente, vamos mostrar o sentido crescente de no gráfico. Isso significa desenhar setas na curva indicando a direção em que está aumentando. Começamos no ponto e seguimos para , depois para e assim por diante. As setas indicam que conforme aumenta, nos movemos para a direita e para cima no gráfico.

Resposta

O gráfico de é uma curva que se estende para a direita e sobe conforme aumenta, com pontos como , , e . O sentido crescente de está indicado pelas setas que mostram o movimento da esquerda para a direita e de baixo para cima na curva.

Exercícios relacionados

(a) Obtenha a inclinação da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial
(b) Obtenha as coordenadas do ponto que a reta
intersecta o plano .
Sabendo que , calcule e .
Seja . Determine
(a).
Determine por inspeção, pelo menos uma solução da equação diferencial a seguir.