Esboce o gráfico de
e mostre o sentido crescente de
.
30.
30.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um vetor posição
que depende de um parâmetro
. O exercício pede para a gente desenhar o gráfico desse vetor e mostrar como ele se comporta quando
aumenta. Para fazer isso, vamos precisar entender como funciona o gráfico de um vetor posição e como representar seus componentes no plano cartesiano. Então, nossa missão é decompor
em suas partes
e
, e depois analisar como essas partes mudam com
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função vetorial que temos:
Aqui,
é a componente na direção do eixo
(representada por
) e
é a componente na direção do eixo
(representada por
). Isso significa que para cada valor de
, temos um ponto no plano
onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que acontece com
e
quando
aumenta. A função
cresce, mas de forma mais lenta à medida que
fica maior. Já a função
cresce de maneira linear, ou seja, de forma contínua e constante com o aumento de
. Portanto, conforme
aumenta, tanto
quanto
aumentam, mas
cresce mais rápido que
.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, podemos calcular alguns pontos para diferentes valores de
. Vamos escolher alguns valores de
e ver onde o vetor
está:
-
Para
: Ponto: -
Para
: Ponto: -
Para
: Ponto: -
Para
: Ponto:
Com esses pontos, a gente vê que conforme
aumenta, os pontos se afastam do eixo
e sobem no eixo
, criando uma curva que sobe para a direita.
Passo 5
Finalmente, vamos mostrar o sentido crescente de
no gráfico. Isso significa desenhar setas na curva indicando a direção em que
está aumentando. Começamos no ponto
e seguimos para
, depois para
e assim por diante. As setas indicam que conforme
aumenta, nos movemos para a direita e para cima no gráfico.
Resposta
O gráfico de
é uma curva que se estende para a direita e sobe conforme
aumenta, com pontos como
,
,
e
. O sentido crescente de
está indicado pelas setas que mostram o movimento da esquerda para a direita e de baixo para cima na curva.
Exercícios relacionados
(a) Obtenha a inclinação da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial
(b) Obtenha as coordenadas do ponto que a reta
intersecta o plano
.
Sabendo que
, calcule
e
.
Seja
. Determine
(a).
(a).
Determine por inspeção, pelo menos uma solução da equação diferencial a seguir.