Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico das funções e e descobrir a área da região que elas limitam usando integrais. Isso cai no conteúdo de cálculo, especificamente em integrais definidas para encontrar áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos onde as duas funções se encontram e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos de interseção das duas funções. Isso acontece quando . Vamos resolver essa equação:

Passo 3

Vamos trazer tudo para o lado esquerdo da equação:
Simplificando:

Passo 4

Fatorando:
Então, as soluções são:

Passo 5

Agora que temos os pontos de interseção em e , vamos determinar qual função está por cima entre esses pontos. Vamos escolher um valor de no intervalo, por exemplo, :
Para :
Para :
Então, está por cima.

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula da área entre duas curvas:
Á
Onde é a função que está por cima e a que está por baixo. Aqui, e , com e .

Passo 7

Substituindo na fórmula:
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 8

Agora, vamos integrar:
Á
A primitiva de é e a primitiva de é . Então:
Á

Passo 9

Calculando nos limites:
Para :
Para :

Passo 10

Subtraindo:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas funções e é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .
Derive.
Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .
Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .