Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar o gráfico das funções
e
e determinar a área da região que elas limitam usando integrais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções quadráticas e como calcular áreas entre curvas usando integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas funções se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Isso acontece quando
. Vamos resolver essa equação para descobrir os valores de
onde as curvas se cruzam.
Passo 3
Resolvendo
:
Então,
ou
. Esses são os pontos onde as duas funções se interceptam.
Passo 4
Agora, vamos esboçar os gráficos. A função
é uma parábola que abre para cima, enquanto
é uma parábola que abre para baixo. Com os pontos de interseção em
e
, podemos desenhar as duas curvas e identificar a região limitada entre elas.
Passo 5
Para encontrar a área da região limitada pelas duas curvas, usamos a integral definida. A área será igual à integral da função de cima menos a função de baixo, no intervalo dos pontos de interseção.
Primeiro, identificamos qual função está acima da outra no intervalo
. Observando os gráficos ou testando um ponto dentro do intervalo, percebemos que
está acima de
.
Passo 6
A fórmula para a área
é:
Onde:
-
(função de cima) -
(função de baixo) -
e (limites de integração)
Passo 7
Substituindo na fórmula:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Avaliando a integral de
a
:
Resposta
A área da região limitada pelas funções
e
é
unidades de área.
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