Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar o gráfico das funções e e determinar a área da região que elas limitam usando integrais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções quadráticas e como calcular áreas entre curvas usando integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas funções se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Isso acontece quando . Vamos resolver essa equação para descobrir os valores de onde as curvas se cruzam.

Passo 3

Resolvendo :
Então, ou . Esses são os pontos onde as duas funções se interceptam.

Passo 4

Agora, vamos esboçar os gráficos. A função é uma parábola que abre para cima, enquanto é uma parábola que abre para baixo. Com os pontos de interseção em e , podemos desenhar as duas curvas e identificar a região limitada entre elas.

Passo 5

Para encontrar a área da região limitada pelas duas curvas, usamos a integral definida. A área será igual à integral da função de cima menos a função de baixo, no intervalo dos pontos de interseção.
Primeiro, identificamos qual função está acima da outra no intervalo . Observando os gráficos ou testando um ponto dentro do intervalo, percebemos que está acima de .

Passo 6

A fórmula para a área é:
Onde:
  • (função de cima)
  • (função de baixo)
  • e (limites de integração)

Passo 7

Substituindo na fórmula:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 9

Avaliando a integral de a :

Resposta

A área da região limitada pelas funções e é unidades de área.

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