Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
e
, além das retas verticais
e
. O objetivo é esboçar o gráfico da região delimitada por essas funções e calcular a área dessa região usando integrais. Para isso, vamos precisar encontrar os pontos onde as funções se interceptam e depois configurar a integral adequada para calcular a área.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos de interseção das funções
e
. Para isso, igualamos as duas expressões:
Rearranjando os termos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante (
) é negativo, as funções não se intersectam. Isso significa que precisamos considerar apenas as retas verticais
e
para delimitar a região.
Passo 3
Para determinar qual função está acima da outra no intervalo de
a
, vamos avaliar as funções em um ponto dentro desse intervalo, por exemplo, em
:
Como
, a função
está acima da função
nesse intervalo.
Passo 4
Agora, para calcular a área da região limitada, vamos integrar a diferença entre as duas funções no intervalo de
a
:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Agora, avaliamos a integral de 0 a 2:
Resposta
A área da região limitada pelas funções dadas é
unidades de área.
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