Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções: e , além das retas verticais e . O objetivo é esboçar o gráfico da região delimitada por essas funções e calcular a área dessa região usando integrais. Para isso, vamos precisar encontrar os pontos onde as funções se interceptam e depois configurar a integral adequada para calcular a área.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos de interseção das funções e . Para isso, igualamos as duas expressões:
Rearranjando os termos:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante ( ) é negativo, as funções não se intersectam. Isso significa que precisamos considerar apenas as retas verticais e para delimitar a região.

Passo 3

Para determinar qual função está acima da outra no intervalo de a , vamos avaliar as funções em um ponto dentro desse intervalo, por exemplo, em :
Como , a função está acima da função nesse intervalo.

Passo 4

Agora, para calcular a área da região limitada, vamos integrar a diferença entre as duas funções no intervalo de a :
Á

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Agora, avaliamos a integral de 0 a 2:

Resposta

A área da região limitada pelas funções dadas é unidades de área.

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