Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções: e . Nosso objetivo é desenhar o gráfico da região que fica entre essas duas curvas e, em seguida, calcular a área dessa região usando integrais. Para isso, vamos precisar saber onde essas funções se encontram e como configurar a integral certa para encontrar a área.
Passo 2
Vamos começar descobrindo onde as duas funções se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico dessas funções. A função é uma parábola que é simétrica em relação ao eixo y e se abre para cima. A função é uma linha horizontal que corta a parábola nos pontos e . A região que queremos está entre esses dois pontos, abaixo da linha e acima da parábola .
Passo 4
Para encontrar a área dessa região, usamos a integral definida que representa a diferença entre as duas funções no intervalo onde elas se interceptam. A fórmula para a área é:
Aqui, é a função superior (a linha horizontal) e é a função inferior (a parábola).
Passo 5
Vamos calcular a integral passo a passo:
Calculando cada parte:
Integral de 4:
Integral de :
Subtraindo as duas partes:
Resposta
A área da região limitada pelas funções e é unidades quadradas.