Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: precisamos desenhar o gráfico da área que é limitada pelas funções , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de gráficos de funções e cálculo de integrais para encontrar a área dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar os gráficos das funções envolvidas:
  • : É uma parábola aberta para a direita, começando no ponto (0,0).
  • : É uma reta com inclinação positiva, cruzando o eixo y no ponto (0,1).
  • e : São linhas verticais que cortam o eixo x nesses pontos específicos.

Passo 3

Vamos identificar onde essas funções se encontram dentro do intervalo de a :
  • No :
  • No :
Percebemos que, nesse intervalo, a reta está sempre acima da função .

Passo 4

Para encontrar a área entre essas curvas de a , vamos configurar uma integral que representa a diferença entre as duas funções nesse intervalo.
A fórmula para a área é:

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral passo a passo:
  1. Integrar :
  2. Integrar (que é ):
  3. Subtrair as integrais:

Passo 6

Vamos avaliar essa expressão de a :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A área da região limitada pelas funções é:

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