Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais.
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: precisamos desenhar o gráfico da área que é limitada pelas funções
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de gráficos de funções e cálculo de integrais para encontrar a área dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar os gráficos das funções envolvidas:
-
: É uma parábola aberta para a direita, começando no ponto (0,0). -
: É uma reta com inclinação positiva, cruzando o eixo y no ponto (0,1). -
e : São linhas verticais que cortam o eixo x nesses pontos específicos.
Passo 3
Vamos identificar onde essas funções se encontram dentro do intervalo de
a
:
-
No
: -
-
No
: -
Percebemos que, nesse intervalo, a reta
está sempre acima da função
.
Passo 4
Para encontrar a área entre essas curvas de
a
, vamos configurar uma integral que representa a diferença entre as duas funções nesse intervalo.
A fórmula para a área
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo:
-
Integrar
: -
Integrar
(que é ): -
Subtrair as integrais:
Passo 6
Vamos avaliar essa expressão de
a
:
-
Para
: -
Para
:
Resposta
A área da região limitada pelas funções é:
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