Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçar o gráfico das curvas que delimitam uma região e, em seguida, calcular a área dessa região usando integrais. As funções envolvidas são
(que é o eixo x),
, e as retas verticais
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam no gráfico e depois aplicar o conceito de integrais para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico das funções para visualizar a região que queremos medir.
- A função
é simplesmente o eixo x. - A função
é uma curva cúbica que foi transladada 2 unidades para cima no eixo y. - As retas verticais
e são linhas que cortam o eixo x nesses pontos específicos.
Ao desenhar essas funções no mesmo sistema de coordenadas, veremos que a região limitada por elas está entre
e
, abaixo da curva
e acima do eixo x.
Passo 3
Agora, para calcular a área dessa região, vamos usar integrais. A ideia é integrar a função que está no topo menos a função que está embaixo, ao longo do intervalo dado.
No nosso caso:
- A função de cima é
. - A função de baixo é
.
Então, a área
será:
Simplificando:
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integremos cada termo separadamente:
Calculando cada uma:
Então, a integral completa fica:
Agora, avaliamos de
a
:
Calculando os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas funções
,
,
e
é 5,75 unidades quadradas.
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