Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçar o gráfico das curvas que delimitam uma região e, em seguida, calcular a área dessa região usando integrais. As funções envolvidas são (que é o eixo x), , e as retas verticais e . Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam no gráfico e depois aplicar o conceito de integrais para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico das funções para visualizar a região que queremos medir.
  • A função é simplesmente o eixo x.
  • A função é uma curva cúbica que foi transladada 2 unidades para cima no eixo y.
  • As retas verticais e são linhas que cortam o eixo x nesses pontos específicos.
Ao desenhar essas funções no mesmo sistema de coordenadas, veremos que a região limitada por elas está entre e , abaixo da curva e acima do eixo x.

Passo 3

Agora, para calcular a área dessa região, vamos usar integrais. A ideia é integrar a função que está no topo menos a função que está embaixo, ao longo do intervalo dado.
No nosso caso:
  • A função de cima é .
  • A função de baixo é .
Então, a área será:
Simplificando:

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integremos cada termo separadamente:
Calculando cada uma:
Então, a integral completa fica:
Agora, avaliamos de a :
Calculando os valores:

Resposta

A área da região delimitada pelas funções , , e é 5,75 unidades quadradas.

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