Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico da região limitada pelas funções
,
e
. Depois, vamos determinar a área dessa região usando integrais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções, interseção de curvas e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma das funções:
-
: Essa é uma função que relaciona e . Para facilitar, podemos reescrever como , que é uma parábola voltada para cima. -
: Essa é uma linha reta com inclinação negativa, interceptando o eixo no ponto . -
: Essa é simplesmente o eixo .
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber onde elas se encontram:
-
Interseção de
e :
Igualando as duas equações:Resolvendo a equação quadrática:Então,ou . Mas como só considera , descartamos . Portanto, o ponto de interseção é . -
Interseção de
e : Então, o ponto de interseção é. -
Interseção de
e : Então, a interseção é.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, vamos esboçar o gráfico:
- A parábola
passa por e . - A reta
vai de até . - O eixo
é .
A região limitada por essas curvas fica entre
e
, onde a parábola está abaixo da reta, e entre
e
, onde apenas a reta está acima do eixo
.
Passo 5
Vamos determinar a área da região usando integrais. Para isso, dividimos a área em duas partes:
-
De
a :
A área está entre a parábolae a reta . -
De
a :
A área está entre a retae o eixo .
Passo 6
Vamos calcular
:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Integrando:
Passo 8
Finalmente, somamos as duas áreas para obter a área total da região:
Resposta
A área da região limitada pelas funções
,
e
é
unidades quadradas.
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