Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico da região limitada pelas funções , e . Depois, vamos determinar a área dessa região usando integrais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções, interseção de curvas e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada uma das funções:
  1. : Essa é uma função que relaciona e . Para facilitar, podemos reescrever como , que é uma parábola voltada para cima.
  2. : Essa é uma linha reta com inclinação negativa, interceptando o eixo no ponto .
  3. : Essa é simplesmente o eixo .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber onde elas se encontram:
  • Interseção de e :
    Igualando as duas equações:
    Resolvendo a equação quadrática:
    Então, ou . Mas como só considera , descartamos . Portanto, o ponto de interseção é .
  • Interseção de e :
    Então, o ponto de interseção é .
  • Interseção de e :
    Então, a interseção é .

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, vamos esboçar o gráfico:
  • A parábola passa por e .
  • A reta vai de até .
  • O eixo é .
A região limitada por essas curvas fica entre e , onde a parábola está abaixo da reta, e entre e , onde apenas a reta está acima do eixo .

Passo 5

Vamos determinar a área da região usando integrais. Para isso, dividimos a área em duas partes:
  1. De a :
    A área está entre a parábola e a reta .
  2. De a :
    A área está entre a reta e o eixo .

Passo 6

Vamos calcular :
Integrando termo a termo:

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Integrando:

Passo 8

Finalmente, somamos as duas áreas para obter a área total da região:
²

Resposta

A área da região limitada pelas funções , e é unidades quadradas.

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