Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da região limitada pelas funções , e . Depois, precisamos determinar a área dessa região usando integrais. Para isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam no plano cartesiano e como encontrar os pontos onde elas se cruzam. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar cada uma das funções:
  1. : Essa é uma linha vertical passando pelo ponto no eixo x.
  2. : Podemos reescrever essa equação como , que é uma parábola voltada para cima.
  3. : Essa é uma linha reta com inclinação negativa, interceptando o eixo y no ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre essas funções para saber os limites da região que queremos analisar.
Primeiro, vamos encontrar onde intersecta :
Substituindo na equação :
Então, o ponto de interseção é .
Agora, vamos encontrar onde intersecta :
Igualando as duas equações:
Resolvendo essa equação quadrática pelo método de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
Correspondendo aos valores de y:
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, vamos esboçar o gráfico para visualizar a região delimitada por essas funções.
  1. Desenhamos a linha vertical .
  2. Desenhamos a parábola , que abre para cima.
  3. Desenhamos a linha reta .
A região de interesse é a área que está limitada por essas três curvas. Observando os pontos de interseção, percebemos que a região está entre e .

Passo 5

Para calcular a área dessa região, vamos usar integrais. A ideia é integrar a diferença entre as funções que delimitam a região no intervalo de integração determinado pelos pontos de interseção.
Primeiro, identificamos quais funções estão acima e quais estão abaixo no intervalo considerado.
Entre e :
  • A linha reta está acima da parábola .
Então, a área pode ser calculada pela diferença entre essas duas funções integradas de a :

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Então:
Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :
Então:

Resposta

A área da região limitada pelas funções é unidades quadradas.

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