Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da região limitada pelas funções
,
e
. Depois, precisamos determinar a área dessa região usando integrais. Para isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam no plano cartesiano e como encontrar os pontos onde elas se cruzam. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar cada uma das funções:
-
: Essa é uma linha vertical passando pelo ponto no eixo x. -
: Podemos reescrever essa equação como , que é uma parábola voltada para cima. -
: Essa é uma linha reta com inclinação negativa, interceptando o eixo y no ponto .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre essas funções para saber os limites da região que queremos analisar.
Primeiro, vamos encontrar onde
intersecta
:
Substituindo
na equação
:
Então, o ponto de interseção é
.
Agora, vamos encontrar onde
intersecta
:
Igualando as duas equações:
Resolvendo essa equação quadrática pelo método de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
Correspondendo aos valores de y:
Para :
Para
Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, vamos esboçar o gráfico para visualizar a região delimitada por essas funções.
- Desenhamos a linha vertical
. - Desenhamos a parábola
, que abre para cima. - Desenhamos a linha reta
.
A região de interesse é a área que está limitada por essas três curvas. Observando os pontos de interseção, percebemos que a região está entre
e
.
Passo 5
Para calcular a área dessa região, vamos usar integrais. A ideia é integrar a diferença entre as funções que delimitam a região no intervalo de integração determinado pelos pontos de interseção.
Primeiro, identificamos quais funções estão acima e quais estão abaixo no intervalo considerado.
Entre
e
:
- A linha reta
está acima da parábola .
Então, a área
pode ser calculada pela diferença entre essas duas funções integradas de
a
:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Então:
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
A área da região limitada pelas funções é
unidades quadradas.
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