Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede pra gente desenhar o gráfico da região limitada pelas funções
e
. Depois, a gente precisa calcular a área dessa região usando integrais. Então, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre como encontrar a área entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que temos. A função
é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto (0,1). Já a função
é uma reta horizontal que passa pelo eixo y no ponto (0,-3). Nosso objetivo é encontrar onde essas duas curvas se encontram e então determinar a área entre elas.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, vamos igualar as duas funções:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 4
Vamos resolver a equação:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 5
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos visualizar a região limitada por elas. A parábola
está acima da reta
entre
e
. Então, a área que queremos calcular está entre esses dois pontos.
Passo 6
Para calcular a área entre duas curvas, usamos a seguinte fórmula de integral:
Onde
é a função de cima e
é a função de baixo. No nosso caso,
e
, com
e
.
Passo 7
Vamos montar a integral com os valores que temos:
Passo 8
Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, vamos integrar termo a termo:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar para o cálculo da área definida.
Passo 9
Aplicando os limites de integração:
Vamos calcular para
e
:
Para
:
Para
:
Passo 10
Agora, subtraímos os resultados:
Resposta
A área da região limitada pelas funções
e
é
unidades quadradas.
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Calcule:
R:
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