Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede pra gente desenhar o gráfico da região limitada pelas funções e . Depois, a gente precisa calcular a área dessa região usando integrais. Então, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre como encontrar a área entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que temos. A função é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto (0,1). Já a função é uma reta horizontal que passa pelo eixo y no ponto (0,-3). Nosso objetivo é encontrar onde essas duas curvas se encontram e então determinar a área entre elas.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, vamos igualar as duas funções:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 4

Vamos resolver a equação:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 5

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos visualizar a região limitada por elas. A parábola está acima da reta entre e . Então, a área que queremos calcular está entre esses dois pontos.

Passo 6

Para calcular a área entre duas curvas, usamos a seguinte fórmula de integral:
Á
Onde é a função de cima e é a função de baixo. No nosso caso, e , com e .

Passo 7

Vamos montar a integral com os valores que temos:
Á

Passo 8

Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, vamos integrar termo a termo:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para o cálculo da área definida.

Passo 9

Aplicando os limites de integração:
Á
Vamos calcular para e :
Para :
Para :

Passo 10

Agora, subtraímos os resultados:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas funções e é unidades quadradas.

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Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. ; .
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Calcule:
R: