Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para a gente desenhar o gráfico da região que fica entre as duas funções e , e depois calcular a área dessa região usando integrais. Para isso, vamos precisar entender um pouco de gráficos de funções quadráticas e linhas retas, além de saber como configurar e calcular integrais para encontrar áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada função:
  1. Função Quadrática:
    • Essa é uma parábola que abre para cima.
    • O coeficiente indica que a parábola é mais “esticada” verticalmente, ou seja, cresce mais devagar.
  2. Função Constante:
    • Essa é uma linha reta horizontal que passa pelo ponto onde .

Passo 3

Para desenhar os gráficos, vamos encontrar onde essas duas funções se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 4

Resolvendo a equação para :
Então, as funções se intersectam nos pontos e .

Passo 5

Agora, vamos esboçar os gráficos:
  • A parábola passa pela origem (0,0) e pelos pontos (-6,6) e (6,6).
  • A linha é horizontal e intercepta a parábola nesses mesmos pontos (-6,6) e (6,6).
A região limitada por essas duas funções fica entre e , abaixo da linha e acima da parábola .

Passo 6

Para encontrar a área dessa região, usamos integrais. A ideia é calcular a integral da diferença entre as duas funções, de a :
Á

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral passo a passo:
Calculando cada parte:
Então, a integral completa fica:

Passo 8

Aplicamos os limites de integração de -6 a 6:
Á
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Então:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas funções e é 48 unidades quadradas.

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Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .
Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. ; .
Calcule:
R:
Sendo , calcule