Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para a gente desenhar o gráfico da região que fica entre as duas funções
e
, e depois calcular a área dessa região usando integrais. Para isso, vamos precisar entender um pouco de gráficos de funções quadráticas e linhas retas, além de saber como configurar e calcular integrais para encontrar áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada função:
-
Função Quadrática:
- Essa é uma parábola que abre para cima.
- O coeficiente
indica que a parábola é mais “esticada” verticalmente, ou seja, cresce mais devagar.
-
Função Constante:
- Essa é uma linha reta horizontal que passa pelo ponto onde
.
- Essa é uma linha reta horizontal que passa pelo ponto onde
Passo 3
Para desenhar os gráficos, vamos encontrar onde essas duas funções se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 4
Resolvendo a equação para
:
Então, as funções se intersectam nos pontos
e
.
Passo 5
Agora, vamos esboçar os gráficos:
- A parábola
passa pela origem (0,0) e pelos pontos (-6,6) e (6,6). - A linha
é horizontal e intercepta a parábola nesses mesmos pontos (-6,6) e (6,6).
A região limitada por essas duas funções fica entre
e
, abaixo da linha
e acima da parábola
.
Passo 6
Para encontrar a área dessa região, usamos integrais. A ideia é calcular a integral da diferença entre as duas funções, de
a
:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral passo a passo:
Calculando cada parte:
Então, a integral completa fica:
Passo 8
Aplicamos os limites de integração de -6 a 6:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
A área da região limitada pelas funções
e
é 48 unidades quadradas.
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Calcule:
R:
R:
Sendo
, calcule