Sendo , calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve números complexos! A gente tem o número complexo e precisamos calcular . Para isso, vamos precisar entender como funciona a potenciação de números complexos, usando a forma polar e a famosa fórmula de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser representado na forma polar, que é , onde é o módulo de e é o argumento (ou ângulo) de .
No nosso caso, . Vamos encontrar o módulo e o ângulo :
  • O módulo é dado por:
  • O ângulo é:
    (porque o número está no segundo quadrante)
Então, podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, para calcular , vamos usar a fórmula de De Moivre, que diz:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Vamos simplificar o ângulo . Sabemos que os ângulos se repetem a cada radianos, então vamos ver quantos ciclos completos de cabem em :
Como e têm período , podemos ignorar os e ficar só com:
Mas para facilitar, vamos encontrar o resto da divisão de 100 por 3, já que (porque é uma raiz cúbica da unidade).
Então:

Resposta

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